- Espaços de Sobolev
- Espaços de Holder
- Derivadas Fracas
- Aproximação por Funções Suaves
- Estensões e Traços
- Desigualdades de Sobolev
- Imersões Compactas
- Desigualdade de Poincaré
- Equações Elípticas de Segunda Ordem
- Soluções Fracas
- Lax-Milgram
- Regularidade Elíptica
- Princípio do Máximo
- Desigualdade de Harnack
- Autovalores
- Equações Parabólicas de Segunda Ordem
- Existência
- Unicidade
- Regularidade
- Princípios do Máximo
- Método de Energia
- Equações Hiperbólicas de Segunda Ordem
- Regularidade
- Propagação de Sinais
- Sistemas Hiperbólicos de Primeira Ordem
- Semigrupos
- Outros Tópicos de Interesse do Instrutor
Bibliografia:
[1] H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDE
[2] M. Renard and R. Rodgers, An Introduction to PDE
[3] M. Taylor, PDE, Basic Theory.
[4] M. Taylor, PDE, Basic Theory
- Transformada de Fourier e distribuições temperadas. Espaços de Sobolev.
- Operadores lineares limitados e não limitados, fechados e fecháveis. Resolvente e espectro.
- Semigrupos contínuos de operadores e gerador infinitesimal.
- Integrais de Riemann-Stieltjes e de Lebesgue-Stieltjes.
- Operadores simétricos e autoadjuntos.
- Teorema espectral para operadores autoadjuntos e unitários. Teorema espectral para operadores normais na forma de integral e na forma de multiplicação.
- Cálculo funcional. Teorema de Stoe.
- Espectro discreto e espectro essencial. Teorema de Kato-Rellich.
Bibliografia:
N. I. Akhiezer, I. M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space. Volumes I e II, Moniogragraphs and Studies in Mathematics 9, Pitman, 1981.
T. Kato, Perturbation Theory for Linear operators, Spreinger, 1980.
B. Nagy, F. Riesz, Functional Analysis, NY: Frederick Unger, 1955.
- Ementa: Séries de Fourier, teorema de Fejer. Transformada de Fourier nos espaços das funções integráveis, de Schwartz, das funções quadrado integráveis, das distribuições temperadas.
- Teoremas de Riez-Thorin, de Stein, de Marcinkiewicz. Desilgualdades de Young e Hausdorff-Young.
- Aproximação da identidade, função maximal de Hardy-Littlewood, função maximal diádica, decomposiçãoo de Calderon-Zygmund, teorema de decomposiçãoo de Lebesgue.
- Transformada de Hilbert: teoremas de Riesz e Kolmogorov, condiçãoo de Hormander, operadores de Calderon-Zygmund generalizados, imersões de Sobolev.
- Os espaços atômico e BMO. Desilgualdade de John-Nirenberg.
- Teoria de Littlewood-Paley e aplicações.
Bibliografia:
J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, AMS, 2001
C. Muscalu, W. Schlag, Classical and Multilenear Harmonic Analysis, Volume I, Cambridge, 137,2001
E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970.
