• Breve revisão de Polinômios, anéis e grupos.
• Extensões finitas e algébricas.
• Extensões separáveis e normais.
• Teoria de Galois.
• Extensões ciclotômivcas e cíclicas.
• Teorema de Sylow e grupos solúveis.
• Solubilidade por radicais.

Bibliografia:

ENDLER, Otto - Teoria de Corpos. Monografias do IMPA, nº44

ARTIN, Michael - Algebra

EDWARDS, H. - Galois Theory. Springer-Verlag

LANG, S. - Algebra. Addison-Wesley

VAN DER WAERDEN, B.L. - Modern Algebra

JACOBSON, N. - Basic Algebra I & II. Freeman.

• Série de potência, convergência de série de potências, função logarítmica e função exponencial, função analítica de uma variável.
• Integrais curvilíneas, primitiva de uma forma fechada, funções holomorfas, teorema de Cauchy, fórmula integral de Cauchy, teorema de Morera, principio de simetria de Schwartz.
• Desigualdade de Cauchy, teorema de Liouville, propriedade do valor médio e principio do módulo máximo, lema de Schwartz, séries de Taylor e de Laurent, ponto no infinito, singularidades, teorema dos resíduos, cálculo de integrais por resíduos. Funções holomorfas, fórmula de Poisson, problema de Dirichlet.

Bibliografia:

CARTAN, H. - Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables.

Ementa:

• Sigma-álgebras.
• Medida positiva e medida exterior, medidas de Borel, de Radon.
• Construção de medidas.
• Medidas vetoriais, absolutamente continuas,singulares e medidas discretas.
• Classes importantes: medidas de Lebesgue Stieltjes, de Hausdorff, de Haar.
• Funções mensuráveis e integral segundo Lebesgue .
• Conjuntos não mensuráveis a Lebesgue, o exemplo de Vitali.
• Teoremas de convergências.
• Os espaços L^p, completude e separabilidade.
• Medidas produto.
• Teoremas de Fubini, de Lebesgue-Radon-Nikodym. de Representação de Riez e de diferenciação de Lebesgue-Besicovitch.

Bibliografia:
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their
Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999. - R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley
& Sons, Inc., 1995. - W. Neves e G. Valle, Teoria da Medida,
Integração e Probabilidade, Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 2014. - W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1987. -

Ementa
• Definição e exemplos de variedades,
• Mapas suaves entre variedades, difeomorfismos,
• Vetores tangentes, o espaço tangente, derivações e curvas,
• O diferencial de uma aplicação suave,
• O teorema de função implícita e aplicações, pontos críticos e regulares,
• Imersões, mergulhos e submersões,
• Campos vetoriais, o colchete de Lie, fluxos de campos vetoriais,
• Métricas Riemannianas, conexões, aplicações em hipersuperfícies em Rn,
• Formas diferenciais em Rn, formas diferenciais em variedades,
• Operações com formas, produto e derivada exterior,
• Orientações em espaços vetoriais e variedades,
• Variedades com bordo,
• Integração de formas em Rn, integração de formas em variedades e em variedades com bordo, o teorema de Stokes,

Conteúdo Programático

(1) Definições e Construções Básicas
• Subvariedades em espaço euclideano como exemplos motivantes,
• Topologia e funções suaves em Rn,
• Definição e exemplos de variedades,
• Mapas suaves entre variedades, difeomorfismos,

(2) O Espaço Tangente, o Diferencial de uma Aplicação Suave
• Vetores tangentes, o espaço tangente, derivações e curvas,
• O diferencial de uma aplicação suave,
• O teorema de função implícita e aplicações, pontos críticos e regulares,
• Mais exemplos, quocientes, a soma conexa, grupos de Lie, variedades compactas e não-compactas,
• Imersões, mergulhos e submersões, mais sobre superfícies euclideanas, aplicação de Gauss, segunda forma fundamental,

(3) Cálculo em Variedades

• Campos vetoriais, o colchete de Lie, fluxos de campos vetoriais, difeomorfismos locais,
• Métricas Riemannianas, conexões, aplicações em hipersuperfícies em Rn,
• Partições de unidade,
• Formas diferenciais, em Rn e em variedades,
• Operações com formas, produto e derivada exterior, pull-back, derivada de Lie,
• Orientações, em espaços vetoriais e variedades, relação com n-formas,
• Variedades com bordo,
• Integração de formas em Rn, integração de formas em variedades e em variedades com bordo, o teorema de Stokes,

(4) Tópicos Optatívos
• Teoria de superfícies via o referencial móvel, teorema de Gauss-Bonnet,
• O fibrado tangente como uma variedade, fibrados vetoriais, tensores, seçõoes de fibrados vetoriais, propriedades básicas, segunda forma fundamental como um tensor,
• O teorema de Frobenius usando campos vetoriais e formas diferenciais,
• Cálculo e derivadas de tensores e seções de outros fibrados,
• Formas fechadas e exatas, definição de cohomologia de De Rham, invariânça por difeomorfismo,
• Um desvio para sequˆencias exatas, o teorema de Mayer-Vietoris, exemplos,

Bibliografia

(1) Loring Tu, An Introduction to Manifolds, Springer UTX.
(2) Thierry Aubin, A Course in Differential Geometry, AMS Graduate Studies in Mathematics.
(3) Manfredo do Carmo, Formas Diferenciais e Aplica¸c˜oes, SBM.
(4) Michael Spivak, O C´alculo em Variedades, Ciˆencia Moderna,
(5) John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer.
(6) Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer
GTM.

• Breve revisão de Polinômios, anéis e grupos.
• Extensões finitas e algébricas.
• Extensões separáveis e normais.
• Teoria de Galois.
• Extensões ciclotômivcas e cíclicas.
• Teorema de Sylow e grupos solúveis.
• Solubilidade por radicais.

Bibliografia:

ENDLER, Otto - Teoria de Corpos. Monografias do IMPA, nº44

ARTIN, Michael - Algebra

EDWARDS, H. - Galois Theory. Springer-Verlag

LANG, S. - Algebra. Addison-Wesley

VAN DER WAERDEN, B.L. - Modern Algebra

JACOBSON, N. - Basic Algebra I & II. Freeman.

• Revisão das propriedades básicas de anéis e exemplos, módulos, submódulos, condições de cadeias para anéis e módulos, o radica; de um módulo, o radical de Jacobson, o lama de Nakayama, anéis semisimples e o teorema de Wedderburn, módulos indecomponíveis, o lema de Fitting, o teorema de Krull-Schmidt, módulos projetivos, produtos tensoriais.

Bibliografia:

PIERCE, R.S. - Associative Algebras. Springer

JACOBSON, N. - Basic Algebra I e II. Freeman

COHN, P.M. - Algebra I e II. Wiley

LANG, S. - Algebra. Addison-Wesley

Ementa:

Noções básicas de topologia.
Continuidade.
Conexidade.
Compacidade. Teorema de Tychonoff.
Axiomas de contabilidade.
Axiomas de separação. Lema de Uryshon.
Partições da unidade.
Espaços de funções.
Espaços de Baire.

Referências:

- J. R. Munkres, Topology, Second Edition, Prentice Hall, Inc., 2000.
- J. L. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, New York, 1991.
- J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.
- S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1968.

• Aplicações diferenciáveis.
• Teorema das funções implicitas.
• Teorema da função inversa.
• Polinômios e desenvolvimento de Taylor limitados.
• Formas diferenciais.
• Teorema de Stokes.

Bibliografia:

DIEUDONNE, J.A. - Foudations of Modern Analysis. Academic Press (1969)

• Espaços de Banch e Espaços de Hilbert.
• Teorema de Hahn-Banach nas Formas Analística e Geometrica.
• Dualidade.
• Teorema de Banach-Steinhaus.
• Teorema do Gráfico fechado e da Aplicação Aberta.
• Teorema de Krein-Milman.
• Operadores em Espaços de Hilbert.
• Operadores Compactos.

Bibliografia:

TAYLOR, A.; LAY,D - Introduction to Functional Analysis.

WILLEY & SOHNS, John - A Course on Functional Analysis. New York; Conway, Springer Verlag

• Noções básicas de Teoria Espectral.
• A representação de Gelfand-Naimark.
• Grupos localmente compactos.
• A medida de Hear e a integração sobre grupos localmente compactos.
• Representação de Grupos e teorema de Peter-Weyl.
• Análise de Fourier sobre os Grupos Compactos.
• Representações Induzidas e o teorema de impritividade de Mackey.
• Outros tópicos.

Bibliografia:

FOLLAND, Gerald B - A Course in Abstract Harmonivca Analysis. CRC Press, 1995

• Corpos de números algébricos.
• Anéis noetherianos e domínio de Dedekind.
• Classes de ideais.
• Extensões em domínios de Dedekind.
• Decomposição em corpos ciclotômicos e quadráticos.
• Método geométrico.
• Extensões galoisianas.

Bibliografia:

RNDLER, Otto - Teoria Algébrica dos Números. Projeto Euclides # 15

FROHICH, A.; TAYLOR, M.J. - Algebraic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics #27

IRELAND, K.; ROSEN, M. - A Classical Introductions to Modern Number Theory.Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics #67

• Operadores lineares em espaços de Banach.
• Teoria Espectral Algebras de Banach.
• C*-Algebras.

• Aplicações multilineares.
• Polinômios homogêneos.
• Teorema da extenção – Polinômios fracamente contínuos.
• Teorema do gráfico fechado para para aplicações multilineares.
• Reflexidade em espaços de polinômios.

Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa
1. Álgebras de Banach.
2. Espectro de um elemento.
3. Raio espectral.
4. O teorema de Gelfand-Mazur.
5. O grupo dos elementos invertíveis.
6. Homomorfismos complexos.
7. Espectro de uma álgebra.
8. Cálculo simbólico.
9. Álgebras de Banach comutativas: Ideais e homomorfismos.
10. Álgebras semi-simples.
11. Transformação de Gelfand.
12. Álgebras de funções.
13. Álgebras uniformes.
14. Fronteiras.
15. Involuções.
16. C*-álgebras comutativas.
17. O teorema de Gelfand-Naimark.
18. Funcionais positivos.

Bibliografia:
[1] R. Larsen, Banach Algebras: an Introduction, Marcel Dekker, 1973.
[2] E.L. Stout, The Theory of Uniform Algebras, Bogden & Quigley, 1971.
[3] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991.

Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa
1. Espaços de Banach.
2. Aplicações lineares e contínuas.
3. O teorema de Hahn-Banach.
4. O teorema de Banach-Steinhaus.
5. Os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.
6. Dualidade.
7. Topologias fraca e fraca-estrela.
8. Os teoremas de Banach-Alaoglu e de Goldstine.
9. Espaços reflexivos.
10. Operadores compactos entre espaços de Banach.
11. Operadores de Fredholm e a alternativa de Fredholm.
12. Auto-valor, auto-espaço e espectro.
13. Decomposição espectral.
14. Espaços de Hilbert e sua geometria.
15. Operadores auto-adjuntos e normais.
16. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos e normais.

Bibliografia:
[1] J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985.
[2] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos Santalucía, J. Pelant e V. Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, 2001.
[3] G. Bachman e L. Narici, Functional Analysis, Dover Publications, 2000.

• Espaços de Hilbert.
• Formas Sequilineares e Aplicações.
• Lineares.
• Operadores Compactos.
• Operadores Simétricos Limitados.
• Operadores de Fredholm.
• Núcleos Simétricos.
• Cálculo dos Vetores e valores Próprios do Operador Integral.
• Núcleo Gerais.
• Métodos de aproximações Sucessivas.
• Alternativa de Fredholm Aplicações ao Estudo dos Problemas de Dirichlet-Neumann.

Bibliografia:

MIRANDA, M. M. - Análise Espectral em Espaços de Hilbert, Textos de Métodos Matemáticos nº 28. IM/UFRJ, Rio, 1993

BREZIS, H. - Analyse Functionnelle – Theorie et Applications. Masson, Paris, 1983

• Funcionais Diferenciáveis no Sentido de Frechet e Gateux.
• Variação do Gradiente de um Funcional.
• Equações de Euler.
• Condições Suficientes de Extremos.
• Estudo do Funcional do Cálculo Clássico de Variações.
• Minimização de Funcionais de Valores Próprios.
• Iniciação às Inequações Variacionais.
• Teorema de Lions-Stampacchia.

Bibliografia:

GELFAND, I.M. - Calculus of Variations. Prentice Hall Inc, New Jersy, USA, 1963

MEDEIROS, L.A.; MIRANDA, M. Milla - Introdução aos Espaços de Sobolev e as Equações Diferenciais Parciais. Textos de Métodos Matemáticos nº 25, IM-UFRJ, Rio, 1991

KINDELEHRER, D.; STAMPACCHIA, G. - NA Introduction to Variational Inequalities and Applications. Academic Press, New York, 1980

• Vibrações transversais de cordas e membrana elástica.
• Formulação fraca de problemas mistos.
• Espaços de Sobolev Hm.
• Problemas variacionais abstratos.
• Teoria Espectral.
• Equilíbrio de membranas com obstáculos.
• Teorema de Lions-Stampachia.
• Regularização Elítica. Método de Galerkin.
• Equações de ondas e transferência de calor no caso linear.

Bibliografia:

MEDEIROS, L.A.; MIRANDA, M. Milla - Espaços de Sobolev e Equações Diferenciais Parciais. Instituto de Matemática, UFRJ, 1993

BREZIS, H. – Analyse Functionelle (Theorie et Applications). Masson – Paris 1983.

• Teorema de existênxcia e unicidade.
• Equações Lineares.
• Classificação dos campos lineares.
• Estabilidade e instabilidade assintótia de um ponto singular de uma equação autônoma.
• Funções de Lyapunov.
• Pontos fixos Hiperbólicos.
• O teorema de Grobman-Hartman.
• Fluxo associado a uma equação autonoma. Conjuntos limites.
• Campos gradientes.
• Campos planos.
• O teorema de Poincaré-Bendixon.
• Órbitas periódicas hiperbólicas.
• O teorema da variedade estável para pontos fixos hiperbólicos.

Bibliografia:

DE MELO, W.; PALIS J. - Introduction to Dynamical Systems. Berlin, Springer-Verlag, 1982;

HIRSCH, M.; SMALE, S. – Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. New York, Academic Press, 1974;

SOTOMAYOR, J. - Liões de Equações Diferenciais Ordinárias. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1979.

• Geometria Diferencial Global das superfícies em R3.
• Teorema de rigidez da esfera em R3.
• Teorema de Hopf-Rinow.
• primeira e segunda variação do comprimento de arco.
• Teorema de Bonnet.
• Teorema de Hadamard.
• Superfícies com curvatura zero.
• Teorema de Jacobi.
• Teorma de Hilbert, Introduição à Geometria Riemanniana.
• Introdução às Variedades Diferenciáveis.
• Métricas Riemannianas.
• Conexão de Levi-Civitta.
• Geodésicas.
• Vizinhanças normais e totalmente normais.
• Tensor de curvatura.
• Derivação covariante de tensores.
• Campos de Jacobie e pontos conjugados.
• Imersões isométricas: equções de Gauss, Ricci e Codazzi.

• Noções elementars de análise tensorial.
• Cinemática dos corpos do meio contínuo: configurações de Bibliografia, movimentos e deformações.
• Conservação de massa, momento linear e energia, equações de balanço e condições de salto em geral, ensor de Cauchy.
• Relações constitutivas: princípio de objetividade material, corpos de material simples, grupos de materiais isotrópicos, funções isotrópicas.
• Princípio de entropia: termodinâmica dos materiais elásticos, método de multiplicadores de estabilidade termodinâmica.
• Soluções exatas para sólidos elásticos e para escoamentos viscométricos.

Bibliografia:

LIU, I-Shih - Mechanics of Contious Media, Notas de aula. IM-UFRJ, Rio de Janeiro 1999;

WILMANSKI, K. - Thermomechanics of Continua. Springer, Berlin Heidelberg 1998;

GURTIN, M.E. - Na Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York 1981.

• Equações de balanço, funções constitutivas.
• Teoria termoestática: existência de entropia e temperatura absoluta, teoria de Carathéodory.
• Entropia em teoria cinética de gases e mecânica estatística.
• Segunda lei de termodinâmica.
• Desigualdade de entropia.
• Teorias constitutivas e as consequências do princípiode calor.
• Termoelasticidade e viscoelasticidade.

Bibliografia:

LIU, I-Shih - Mechanics of Contious Media, Notas de aula. IM-UFRJ, Rio de Janeiro, 1999;

WILMANSKI, K. - Thermomechanics of Continua. Springer, Berlin Heidelberg 1998;

GURTIN, M.E. - Na Introduction to Continnum Mechanics. Academic Press, New York 1981.

Carga didática: 4 horas semanais
Nível: Mestrado

Ementa: - Medida e medida exterior: medidas em anéis e sigma-álgebras. Propriedades. Medida exterior. Medida de Lebesgue em RN . Caracterização. Extensão de medidas. Construção das medidas de Stieltjes. - Funções mensuráveis e Integração: funções mensuráveis, propriedades, conjuntos não mensuráveis a Lebesgue. A integral de Lebesgue. Teoremas de Convergência. Os Espaços Lp . Completude e separabilidade. Duais e Isometrias. Medidas produto. Teorema de Fubini e Tonelli. Aplicações. - Medidas com sinal: Teoremas de decomposição da Hahn e Jordan. Continuidade absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de decomposição de Lebesgue. - Diferenciação: Derivação de medidas. Diferenciação de funções. Teorema de Lebesgue. Funções absolutamente contínuas e a integral definida.

Referências:

P. R. Halmos; Mesure Theory, Springer-Verlag, NY, 1974.

A. J. Weir; Lebesgue Integration and Mesure, Cambridge University Press, 1973

• Espaço Métricos.
• Compactos.
• Conexos.
• Continuidade.
• Diferenciação.
• Integral de Riemann-Stieltjes.
• Sucessões e séries de funções.
• Teorema de Stone-Weierstrass.
• Funções de várias variáveis.
• Teorema da função inversa.
• Teorema da função implícita.
• Teorema de Stokes.

Bibliografia:

PUGH - Real Mathematical Analysis. Springer

RUDIN - Princípios de Análise Matemática. McGraw-Hill

LIMA - Espaços Métricos. Projeto Euclides