• Decomposição de Littlewood-Paley,
• Espaços de funções e decomposição de Littlewood-Paley,
• Cálculo paradiferencial,
• Aplicações no estudo das equações de Navier-Stokes,
• Aplicações no estudo de turbulência.

Modelos não-lineares são caracterizados pela interação entre diferentes escalas espaciais, e o estudo destes modelos depende essencialmente de quantificar precisamente esta interação. A análise de Fourier pode ser entendida como o estudo dos métodos matemáticos para decomposição de funções em diferentesescalas. Esta disciplina tem como objetivo um estudo sobre o uso de métodos de análise de Fourier, especialmente a decomposição de Littlewood-Paley, a teoria de espaços de Besov e o cálculo paradiferencial para descrever e analisar a interação entre diferentes escalas espaciais em problemas não-lineares. A disciplina será dividida em duas etapas: primeiro, uma breve introdução a estes métodos de análise harmônica e, em seguida, discutiremos alguns exemplos de aplicações destes métodos a problemas de dinâmica dos fluidos e turbulência.
A decomposição de Littlewood-Paley refere-se à decomposição de uma função em componentes que correspondem a frequências de Fourier localizadas. Esta decomposição é usada, por exemplo, para definir os espaços de Besov de funções, que são uma escala (mais) fina (do que espaços de Sobolev), em termos de regularidade, de espaços funcionais. O cálculo paradiferencial trata do produto de distribuições temperadas e dirige-se, especificamente, ao tratamento de nãolinearidades, particularmente a interação entre escalas, através de métodos de Fourier. Esse conjunto de ferramentas foi usado no estudo de turbulência em dinâmica dos fluidos, pela primeira vez, no artigo seminal de P. Constantin [1]. Se houver tempo pretendemos discutir várias aplicações, incluindo [1] e aplicações mais recentes tais como a demonstração parcial da conjetura de Onsager, modelos tipo shell para turbulência, além de espaços críticos para boa-colocação das equações de Navier-Stokes em 3D.
Alguns textos em que nos basearemos são [2] e [3].
Bibliografia:
[1] P. Constantin, The Littlewood-Paley Spectrum in Two-Dimensional Turbulence
Theoretical and Computational Fluid Dynamics, Vol. 9, (1997) 183-189.
[2] H. Bahouri, J.-Y. Chemin and R. Danchin, Fourier Analysis and Nonlinear
PDE, Springer-Verlag, 2011.
[3] G. Métivier, Para-differential Calculus and Applications to the Cauchy Problem for Nonlinear Systems, Springer-Verlag, 2008.

• Primeira variação do volune de uma subvariedade.
• Subvariedades mínimas.
• Subvariedades mínimas em espaços euclideanos e em esferas.
• Órbitas de um grupo de isometrias e subvariedades mínimas.
• Geometria Kahleriana e a desigualdade de Wirtinger.
• Segunda variação do volume; o teorema do índice para subvariedades mínimas; estabilidade.
• Problema de Plateau e suas generalizações.
• Superfícies mínimas em RN. Teorema de Chern-Osserman.
• Superfícies mínimas com curvatura total finita.
• Superfícies mínimas mergulhadas.
• Outros tópicos.

Bibliografia:
CHERN, S.S. - Minimal Submanifolds in a Riemannian Submanifolds, Notas. University of Kansas, 1968;
LAWSON, B. - Lectures on Minimal Submanifolds. Berkely, Publish or Perish, 1980;
OSSEMAN, R. - A Asurvey of Minimal Submanifolds, 1nd ed.. Dover Publ, 1988;
COSTA, C.J. - Funções Elípticas, Algébricas e Superfícies Mínimas. 18º Colóquio Brasileiro de Matemática. – IMPA – 1991.

• Grupos e álgebras de Lie; métricas bi-invariantes.
• Representação adjunta; forma bilinear de Killing.
• Espaços homogêneos; métricas invariantes à esquerda e bi-invariantes. Espaços simétricos; exemplos.
• Geometria do Laplaceano. Outros tópicos.

Bibliografia:
CHAVEL, I. - Riemannian Geometry: A Moder Introduction. Cambridge U. Press, 1993;
CHEEGER, J.; EBIN, D. - Comparison Theorems on Riemannian Geometry. North-Holland, 1975;
JOST, J. - Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1955;
SAKAI, T. - Riemannian Geometry, ªM.S., Mathematical Monographs,vol. 149.
SPIVAK, M. - A Comprehensive Introduction to Differential Geometriy. Publish or Perish, 1975