• Álgebras de Banach: Espectro de um elemento.
• Raio espectral.
• O Teorema de Gelfand-Mazur.
• O grupo dos elementos invertíveis.
• Homomorfismos complexos.
• Espectro de uma álgebra.
• Cálculo simbólico.
• Álgebras de Banach comutativas: Ideais e homomorfismos.
• Álgebras semi-simples.
• Transformação de Gelfand.
• Álgebras de funções.
• Álgebras uniformes.
• Fronteiras.
• Involuções.
• C*-álgebras comutativas.
• Teorema de Gelfand-Naimark.
• Funcionais positivos. 

Bibliografia:
LARSEN, R. - Banach Algebras: an introduction. Marcel Dekker, 1973.
STOUT, E.L. - The theory of Uniform Algebras. Bogden & Quigley, 1971.
RUDIN, W. - Functional Analysis. McGraw-Hill, 1991.

• Fechos inteiros.
• Curva planas.
• Fatoração de anéis.
• Discriminantes.
• O grupo de classes de ideais.
• Curvas projetivas.
• Curvas completas não singulares.
• Funções zeta.
• Teorema de Riemann-Roch.
• A hipótese de Riemann para curvas.

Bibliografia:
LORENZINI, D. - Na inivitation to arithmetic geometry, Graduates Studies in Mathematics 9. (American Mathematical Society);
SERRE, J.P. - Algebric groups and class fields. Springer Verlag 1988;
MORENO, C. - Algebric curves over finite fields. Cambridge University Press, 1991;
STICHTENOTH, H. - Algebric function fields and codes. Springer-Verlag.

• Espaços vetoriais topológicos, espaços normados e de Hilbert.
• Espaços de dimensão finita.
• Espaços localmente convexos; completamento.
• Espaços de Fréchet.
• O teorema de Hahn-Banach.
• Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.
• Conjuntos limitados em espaços localmente convexos; o teorema de Kolmogoroff.
• Dualidade: par dual e topologia fraca.
• Topologias polares, a topologia de Mackey e a topologia forte.
• O teorema dos bipolares e o teorema de Mackey-Arens.
• O teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki.
• Espaços tonelados e o teorema de Banach-Steinhaus.
• O teorema de Mackey.
• Espaços bornológicos.
• Espaços semi-reflexivos e reflexivos.
• Espaços de Montel.
• Limites indutivos e projetivos.

Bibliografia:
ROBERTSON, A.; Robertson, W. - Topological Vector Spaces. Cambridge University Press, 1973.
HORVATH, J. - Topological Vector Spaces and Distributions. Dover Publications; Reprint edition, 2012
NARICI, L.; BECKENSTEIN, E. - Topological Vector Spaces, Second Edition. Chapman and Hall/CRC; 2nd edition, 2010.