Desigualdade de Young para Convoluções, Espaços de Sobolev, Espaços de Hoelder, Estimativas de Interpolação (Log-Concavidade das Normas), Teorema de Mergulho de Sobolev, Operadores Elípticos, Princípio de Máximo, Estimativas de Schauder, Regularidade Elíptica e Hipoelíptica. Aplicações Prescrição de curvatura, Regularidade de superfícies com curvatura constante (inclusive mínimas), Singularidades isoladas de superfícies mínimas e superfícies com curvatura média constante.

Bibliografia:

Colding-Minicozzi

Evans

Gilbarg-Trudinger

Taylor

Professor: Alejandro Cabrera

Período: 2021-1 (calendário da pós-graduação)
Nivel: doutorado (serve tambem para mestrado e pode ter espelho na graduação se tiver interessados)
Pré-requisitos: cálculo em várias variáveis e álgebra linear (a ideia é manter pré-requisitos minimos, embora precisa-se que o aluno tenha uma certa maturidade matemática).

Ementa: 

O curso tem por objetivo estudar sistemas físicos que, em algum sentido, podem ser resolvidos de forma exata. Nestes sistemas, o papel das simetrias será sistematicamente explorado. No caminho, o estudante se familiariza com diversos formalismos, metodos e ideias da fisica-matematica basica. 

(1) Integrabilidade em Mecânica: Neste item, abordaremos os seguintes tópicos: o Problema de Kepler; a Simetria de Runge-Lenz e problemas relacionados com órbitas de colisão; o conceito de sistema Hamiltoniano completamente integrável e a solução das equações do movimento para corpos rígidos. Colchetes de Poisson e geradores infinitesimais de simetrias. Relação entre simetrias e quantidades conservadas em mecânica Hamiltoniana (Noether).

(2) Integrabilidade na mecânica quântica. O formalismo da mecânica quântica. Simetrias e representações lineares de grupos. Translações e rotações em mecânica quântica. Resolvendo a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio usando métodos da teoria de grupos, com base na simetria de Runge-Lenz.

(3) Simetrias discretas: Teoria de representações de grupos discretos. O papel das simetrias discretas na teoria das vibrações moleculares.

(4) Teoria do Eletromagnetismo: as Equações de Maxwell do eletromagnetismo clássico. Soluções especiais. A linguagem de formas diferenciais. A invariância relativista subjacente e simetrias pelo grupo de Poincaré. A classificação de Wigner de partículas como representação do grupo de Poincaré.

Bibliografia:

1. M. Audin, Spinning tops: A course on integrable systems, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 1999.
2. P. Bamberg and S. Sternberg, A course in mathematics for students of physics:, A Course in Mathematics for Students of Physics, Cambridge University Press, 1991.
3. J.H. Conway, The orbifold notation for surface groups., Groups, combinatorics and geometry. Proceedings of the L.M.S. Durham symposium, held July 5-15, 1990 in Durham, UK, Cambridge: Cambridge University Press, 1992, pp. 438–447 (English).
4. J.H. Conway, H. Burgiel, and C. Goodman-Strauss, The symmetries of things, CRC Press, 2016. 
5. V. Guillemin and S. Sternberg, Variations on a theme by kepler, American Mathematical Society Colloquium Publications, American Mathematical Society, 2006.
6. J. Hoppe, Lectures on integrable systems, Lecture Notes in Physics Monographs, Springer Berlin Heidelberg, 2008.
7. S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press, 1995

Professora: Luciane Quoos

Ementa do curso (mestrado/doutorado):

• Caracterização de corpos finitos.
• Raízes de polinômios irredutíveis.
• Traço, Norma, Bases e Teorema 90 de Hilbert.
• Caracteres.
• Somas de Gauss e de Jacobi.
• Aplicaçõoes de caracteres: polinomios irredutíveis com coeficientes fixados, elementos primitivos e formas diagonais.
• Critérios para Polinômios de permutação: de Hermite, usando caracteres, AGW e via curvas algébricas.
• Exemplos de famílias de polinômios de permutação usando os critérios mencionados.
• Polinômios de permutação linearizados, binômios e Dickson.
• Grupos de polinômios de permutação.
• Posto de Carlitz de um polinômio de permutação e cotas para o posto de Carlitz.
• Polinômios excepcionais, em particular a conjectura de Carlitz-Wan.
• Polinômios de permutação em muitas variáveis.
• Conjunto de valores de polinômios sobre corpos finitos.

Bibliografia:

1. Finite Fields, Rudolf Lidl e Harald Niederreiter.
2. Handbook of Finite Feilds, Gary Mullen e Daniel Panário.
3. On the difference between permutation polynomials N Anbar, A Odzak, V Patel, L Quoos, A Somoza, A Topuzo˘glu Finite Fields and Their Applications 49, 132- 142, 2018. 2.
4. Oliveira, José Alves; Brochero Martínez, F. E. Permutation polynomials with Carlitz rank 2. Discrete Math. 344 (2021).
5. Permutation polynomials, fractional polynomials, and algebraic curves. D Bartoli, M Giulietti, Finite Fields and Their Applications 51, 1-16.
6. A. Topuzoglu, The carlitz rank of permutations of finite fields: a survey, Journal of Symbolic Computation, 64 (2014), pp. 53-66.
7. E. Aksoy, A. C¸ e¸smelio˘glu, W. Meidl, and A. Topuzo˘glu, On the carlitz rank of permutation polynomials, Finite Fields and Their Applications, 15 (2009), pp. 428-440.
8. Li, K., Qu, L., Chen, X. New classes of permutation binomials and permutation trinomials over finite fields. Finite Fields Appl. 43 (2017), 69-85.
9. Niederreiter, H. Permutation polynomials in several variables. Acta Sci. Math. 33 (1972), 53-58.
10. Chahal, J., Ghorpade, S., Carlitz-Wan conjecture for permutation polynomials and Weil bound for curves over finite fields. Finite Fields Appl. 28 (2014), 282– 291.