• Categorias: Definições e Exemplos de Categorias. Funtores. Produtos e Coprodutos. Pullbacks e Pushouts. Categorias Abelianas.
• Módulos: Definições e Exemplos de Módulos. Módulos Artinianos e Noetherianos. Os Funtores Hom e ®. Módulos projetivos. Módulos injetivos. Contexto de Morita e o Teorema de Wedderbum - Artín.
• Álgebra Homológica: Complexos e Homologia. Sequências Exatas, Homotopias e Resoluções. Os Funtores Derivados Ext e Tor. Cohomologias. Dimensão Homológica.
• Cohomologia de Grupos: Anéis de Grupo. Extensões de Grupos. Cohomologia de Grupos. O Teorema de Schur. Espaços com Operadores. 

Bibliografia:
HILTON, P. J.; STAMMBACH, U. - A Course in Homological Álgebra. Springer, NewYork, 1970.
MÃE LANE, S. - Homology. Springer, New York, 1963.
ROTMAN, J.J. - Na Introduction to Homological Álgebra. Academic Press, Inc., New York - London, 1979.
JACOBSON, N. - Basic Álgebra II ( second Edition ). W. H. Freeman and Company,

• Aritmética finita. Erro de Arredondamento. Condicionamento de Sistemas Lineares. Decomposição em Valores Singulares. Decomposição de Schur.
• Métodos Diretos para resolução de Sistemas Lineares. Método de Gauss e Decomposição QR. Análise de Estabilidade. Métodos Iterativos: Jacobi,Gauss-Siedel, SSOR. Gradientes Conjugados e Generalizações.Mínimos Quadrados. Resolução via Equação Normal e via QR. Cálculo de Autovalores e Autovetores. Estabilidade. Método da Potência Inversa e QR.

Bibliografia:

Golub, G.H., Van Loan, C.F., Matrix Computations, 3rd Edition, John
Hopkins University Press, 1996.
Demmel, J.W., Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
L.N. Trefethen, Bau, David III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

• Espaços de Banach.
• Aplicações lineares e contínuas.
• O teorema de Hahn-Banach.
• O teorema de Banach-Steinhaus.
• Os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.
• Dualidade.
• Topologias fraca e fraca-estrela.
• Os teoremas de Banach-Alaoglu e de Goldstine.
• Espaços reflexivos.
• Operadores compactos entre espaços de Banach.
• Operadores de Fredholm e a alternativa de Fredholm.
• Auto-valor, auto-espaço e espectro.
• Decomposição espectral.
• Espaços de Hilbert e sua geometria.
• Operadores auto-adjuntos e normais.
• Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos e normais.

Bibliografia:

[1] J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985.
[2] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos Santalucía, J. Pelant e V. Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, 2001.
[3] G. Bachman e L. Narici, Functional Analysis, Dover Publications, 2000.

• Álgebras de Banach: Espectro de um elemento.
• Raio espectral.
• O Teorema de Gelfand-Mazur.
• O grupo dos elementos invertíveis.
• Homomorfismos complexos.
• Espectro de uma álgebra.
• Cálculo simbólico.
• Álgebras de Banach comutativas: Ideais e homomorfismos.
• Álgebras semi-simples.
• Transformação de Gelfand.
• Álgebras de funções.
• Álgebras uniformes.
• Fronteiras.
• Involuções.
• C*-álgebras comutativas.
• Teorema de Gelfand-Naimark.
• Funcionais positivos. 

Bibliografia:
LARSEN, R. - Banach Algebras: an introduction. Marcel Dekker, 1973.
STOUT, E.L. - The theory of Uniform Algebras. Bogden & Quigley, 1971.
RUDIN, W. - Functional Analysis. McGraw-Hill, 1991.

• Ementa: Séries de Fourier, teorema de Fejer. Transformada de Fourier nos espaços das funções integráveis, de Schwartz, das funções quadrado integráveis, das distribuições temperadas.
• Teoremas de Riez-Thorin, de Stein, de Marcinkiewicz. Desilgualdades de Young e Hausdorff-Young.
• Aproximação da identidade, função maximal de Hardy-Littlewood, função maximal diádica, decomposiçãoo de Calderon-Zygmund, teorema de decomposiçãoo de Lebesgue.
• Transformada de Hilbert: teoremas de Riesz e Kolmogorov, condiçãoo de Hormander, operadores de Calderon-Zygmund generalizados, imersões de Sobolev.
• Os espaços atômico e BMO. Desilgualdade de John-Nirenberg.
• Teoria de Littlewood-Paley e aplicações.

Bibliografia:

J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, AMS, 2001
C. Muscalu, W. Schlag, Classical and Multilenear Harmonic Analysis, Volume I, Cambridge, 137,2001
E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970.

• Noções básicas de Teoria Espectral.
• A representação de Gelfand-Naimark.
• Grupos localmente compactos.
• A medida de Haar e a integração sobre grupos localmente compactos.
• Representação de grupos e teorema de Peter-Weyl.
• Análise de Fourier sobre os grupos compactos.
• Representações induzidas e o teorema de imprimitividade de Mackey.
• Outros tópicos.

Bibliografia:

[1] G. B. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, 1995.
[2] L. H. Loomis, Introduction to Abstract Harmonic Analysis, Dover, 2011.
[3] E. Hewitt e K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, vols. 1 and 2, Springer-Verlag, 1994.

• Esquemas de Diferença para a Equação de Poisson: Estimativa de Erroe Convergência; Solução de Sistemas Lineares; -Eliminação Gauss;Métodos Iterativos de Relaxação e Gradientes Conjugados.
• Equação doCalor: Esquemas de Diferenças Finitas; Esquemas Explícitos e Implicítos; Estabilidade e Convergência; Trtamento das Condições de Fronteira.
• Equação do Transporte: Esquemas de Diferenças Finitas.
• Dispersão e Difusão; Estabilidade e Convergência;
• Introdução a Problemas não Lineares.

Bibliografia:

LeVeque, Randall J., Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems, SIAM, 2007.

Morton, K.W., Mayers, D.F., Numerical Solution of Partial Differential Equations, 2nd Edition, Cambridge University Press, 2005.

Golub, G.H., Van Loan, C.F., Matrix Computations, 3rd Edition, John Hopkins University Press

• Fechos inteiros.
• Curva planas.
• Fatoração de anéis.
• Discriminantes.
• O grupo de classes de ideais.
• Curvas projetivas.
• Curvas completas não singulares.
• Funções zeta.
• Teorema de Riemann-Roch.
• A hipótese de Riemann para curvas.

Bibliografia:
LORENZINI, D. - Na inivitation to arithmetic geometry, Graduates Studies in Mathematics 9. (American Mathematical Society);
SERRE, J.P. - Algebric groups and class fields. Springer Verlag 1988;
MORENO, C. - Algebric curves over finite fields. Cambridge University Press, 1991;
STICHTENOTH, H. - Algebric function fields and codes. Springer-Verlag.

• Multiplicação complexa

• Superfícies elíticas

• Modelos de Néron

• Curvas elíticas sobre corpos completos

• Alturas locais

Bibliografia:

SERRE, J.-P. - Complex Multiplication in Algebraic Number Theory. ed. J. W. S. Cassels, A. Frölich, London Math. Soc.;

SHIMURA, G. - Abelian Varieites with Complex Multiplication and Modular Functions. Princeton Univ. Press;

SILVERMAN, J. - Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Springer-Verlag

• Dominação e Hiperbolicidade Parcial
• Propriedades Topológicas e Robustas
• Fluxos em Dimensão 3
• Hiperbolicidade Singular
• Outros Tópicos

Bibliografia:

1. Araujo, V., Pacifico, M. Three-dimensional flows.
Springer-Verlag.

2. M. Viana, L. J. Diaz, C. Bonatti, Beyond Uniform Hyperbolicity, Springer Verlag

3. J. Palis, F. Takens; Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations, Cambrige University Press.

Carga Horária: 60h/aula (4 créditos)

EMENTA:

I. Introdução à teoria da complexidade sobre um anel: problemas de decisão, NP-completude, máquinas sobre os inteiros, formulação algébrica do problema P versus NP.

II. Geometria de Algoritmos Numéricos: iteração de Newton, complexidade do Teorema Fundamental da Álgebra, complexidade do Teorema de Bézout, números de condicionamento para problemas lineares, não lineares, e complexidade do condicionamento.

Bibliografia:

Lenore Blum, Felipe Cucker, Mike Shub, Steve Smale, Complexity and Real Computation. Springer-Verlag, New York, 1998.

• Curvas afins
• Curvas projetivas
• Tangentes e singularidades
• Curvas polares e hessianas
• A curva dual e fórmulas de Plücker
• O anel de séries convergentes
• Parametrização de ramos de curvas por séries de Puiseux
• Tangentes e multiplicidades de interseção de germes de curvas
• A superfície de Riemann de uma curva algébrica

Bibliografia:
FISHERMM, G. - Plane Algebraic Curves. AMS, Student Math Librarary 15
KIRWAN, F. - Complex Algebraic Curves. Cambridge University Press
WALKER, R. - Algebraic Curves. Princeton University Press

Carga didática: 4 horas semanais

Nível: Doutorado

Ementa:

• O Espaço Projetivo Complexo, Folheações em Espaços Projetivos Complexos, Grau de uma Folheação,
• Singularidades Genéricas de Folheações Projetivas, Folheações de Codimensão l em CP(n), Soluções
• Algébricas de Folheações em CP(2), Soluções Algébricas, O Teorema do índice de Camacho-Sad para
• curvas e divisores, O Teorema de Baum-Bott em CP(2), Folheações sem Soluções Algébricas.
• O Teorema de Darboux-Lie sobre o número de soluções algébricas de uma folheação projetiva.
• Conjuntos limites de folheações complexas, Grupos de Difeomorfismos Locais com órbitas discretas,
• Holonomia Virtual, Folheações com Conjunto Limite Analítico, Construção de Formas Meromorfas
• Fechadas, O Teorema de Linearização,
• O Teorema de Rigidez topológica de Ilyashenko: Equivalências Topológicas e Analíticas, Folheações com
• uma Reta Invariante, Rigidez das Holonomias, deformações de folheações holomorfas. Teorema de
• Ilyashenko.

Bibliografia:
[1] Camacho, C., Sad, P. - Pontos Singulares de Equa ̧c ̃oes Diferenciais Anal ́ıticas, Rio de Janeiro, 16o Col ́oquio Brasileiro de Matem ́atica, IMPA, 1987.
[2] Cerveau, D., Mattei, J. F. - Formes Int ́egrables Holomorphes Singulires. As- trisque 97, 1986.
[3] C. Camacho e A Lins Neto: Teoria Geom ́etrica das Folhea ̧c ̃oes, Projeto Eu- clides, 1979.
[4] C. Godbillon: Feuilletages, E ́tudes Geom ́etriques I, Universit ́e Louis Pasteur, Mai, 1985.
[5] A. Lins Neto e B. Sc ́ardua: Folheac ̧ ̃oes Alg ́ebricas Complexas, 21o Col ́oquio Brasileiro de Matem ́atica, IMPA - Rio de Janeiro, 1997.
[6] X. Gomez-Mont, L. Ortiz-Bobadilla: Sistemas Dinamicos Holomorfos en Superficies; Sociedad Matematica Mexicana, 1989.

• Ponto fixo hiperbólico, linearização topológica. Teorema da variedade estável e lema de inclinação. Teorema de Kupka-Smalea.
• Conjuntos hiperbólicos: folheações estável e instável; exemplos: ferradura, solenóide, difeomorfismo derivado de Anosov, atrator de Plykin.
• Persistência e estabilidade de conjuntos hiperbólicos; lema de sombreamento. Axioma A e decomposição espectral. Omega-estabilidade e exemplos de sistemas omega-instáveis.
• Closing Lemma e questões correlatas. Elementos da teoria das bifurcações.

Bibliografia:
PALIS, J.; DE MELO, W. - Introduction to Dynamical Systems Berlin, Springer-Verlag, 1982
SHUB, M. - Global Stability of Dynamical Systems New York, Springer-Verlag, 1987
MELO, W.; VAN STRIEN, S. - One-Dimensional Dynamics Springer-Verlag, 1993.

• Funções Testes.
• Distribuições.
• Transformada de Fourier.
• Espaço de Sobolev.
• Imersões.
• Teoremas de Traço.
• Problemas Elíticos não Homogêneos

Bibliografia:
MEDEIROS, L.A.; MIRANDA, M. Milla - Introdução aos Espaços de Sobolev – Iniciando aos Problemas Elíticos não Homogêneo. Instituto de Matemática, UFRJ, Rio, 2000
LIONS, J.L. - Problémes aux Limites Non Homogénes, Vol.1. Durod, Paris, 1968
ADAMS, R.A. - Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 1975.

• Equações de transporte
• Equação de Laplace
• Soluções fundamentais
• Fórmula da média
• Funções harmônica
• Função de Green
• Método de Energia
• Equação do Calor
• Soluções Fundamentais
• Fórmula da Média
• Método de Energia
• Equação da Onda
• Médias Esféricas
• Problemas Não-Homogêneos
• Método de Energia
• Equações de Primeira Ordem Não-Lineares
• Integrais Completas
• Métodos de Características
• Equações de Hamilton-Jacobi
• Leis de Conservação
• Separação de Variáveis
• Soluções de Similaridade
• Métodos por Transformadas
• Séries de Potência
• Teorema de Cauchy-Kowalevska

Bibliografia:

[1] L. C. Evans, PDE.
[2] F. John, PDE
[3] M. Renardy and R. Rodger, An Introduction to PDE
[4] M. Taylor, PDE, Basic Theory

• Espaços de Sobolev
• Espaços de Holder
• Derivadas Fracas
• Aproximação por Funções Suaves
• Estensões e Traços
• Desigualdades de Sobolev
• Imersões Compactas
• Desigualdade de Poincaré
• Equações Elípticas de Segunda Ordem
• Soluções Fracas
• Lax-Milgram
• Regularidade Elíptica
• Princípio do Máximo
• Desigualdade de Harnack
• Autovalores
• Equações Parabólicas de Segunda Ordem
• Existência
• Unicidade
• Regularidade
• Princípios do Máximo
• Método de Energia
• Equações Hiperbólicas de Segunda Ordem
• Regularidade
• Propagação de Sinais
• Sistemas Hiperbólicos de Primeira Ordem
• Semigrupos
• Outros Tópicos de Interesse do Instrutor

Bibliografia:
[1] H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDE
[2] M. Renard and R. Rodgers, An Introduction to PDE
[3] M. Taylor, PDE, Basic Theory.
[4] M. Taylor, PDE, Basic Theory

• Equações de evolução não-lineares.
• Soluções fortes, fracas e amenas (mild).
• Métodos de semigrupo e de Faedo-Galerkin.
• Soluções locais e globais.
• Explosão em tempo finito e soluções auto-semelhantes.
• Comportamento assintótico e atratores.

Bibliografia:

J. L. Lions, Quelques Méthodes de Résolution des problémes aux limites non linéaires. Dunod, Paris, 1969.
D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Lecture Notes in Mathematics 840, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1981.
A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag New York, 1983.
J. Smoller, Shock Waves and [WINDOWS-1252?]Reaction—Diffusion Equations. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 258, Springer-Verlag New York, 1994.
R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Applied Mathematical Sciences 68, Springer-Verlag New York, 1997.

• Problema de Cauchy: Operador Linear a coeficientes constantes, hiperbolicidade, simetrização.
• Operadores Lineares a coeficientes variáveis, operadores pseudo-diferenciais.
• Operadores quasi-lineares, entropia.
• Problemas de valor inicial - contorno: Método das características, número de condições de contorno. Condição Kreiss-Lopatinskii, condição K-L-Uniforme.

Bibliografia:
MAJDA, A. - Compressible Fluid Flow and Systems of Conservation Laws in Several Spaces Variables. Springer (1984).

• Método de Compacidade – Teorema de Aubin-Lions.
• Equações Não Lineares de Ondas.
• Poço de Potencial.
• Sistema de Navier-Stokes.
• Equações Não Lineares do Tipo Schroedinger.
• Método de Monotonia.
• Pseudo Laplaciano Operadores Monótonos.
• Equações Parabólicas Monótonas. Equação Hiperbólicas com Viscisidade.

Bibliografia:
LIONS, J.L. - Quelques Méthodes de Resolutions des Problémes aux Limites Non Lineárires. Dunod, Paris, 1969;
TRATAR, L. - Topics in Nonlinear Analysis, Publications Mathématiques d`Orsay. Université de Paris - , 1978;
BREZIS, H.; CAZENAVE, T. - Nonlinear Evolution Equation, versão Preliminar. Université Pierre et Marie Curie, 1994;
MEDEIROS, L.A.; MIRANDA, M. - Tópicos de Equações Diferenciais Parciais. IM-UFRJ, 1999.

• Espaços vetoriais topológicos, espaços normados e de Hilbert.
• Espaços de dimensão finita.
• Espaços localmente convexos; completamento.
• Espaços de Fréchet.
• O teorema de Hahn-Banach.
• Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.
• Conjuntos limitados em espaços localmente convexos; o teorema de Kolmogoroff.
• Dualidade: par dual e topologia fraca.
• Topologias polares, a topologia de Mackey e a topologia forte.
• O teorema dos bipolares e o teorema de Mackey-Arens.
• O teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki.
• Espaços tonelados e o teorema de Banach-Steinhaus.
• O teorema de Mackey.
• Espaços bornológicos.
• Espaços semi-reflexivos e reflexivos.
• Espaços de Montel.
• Limites indutivos e projetivos.

Bibliografia:
ROBERTSON, A.; Robertson, W. - Topological Vector Spaces. Cambridge University Press, 1973.
HORVATH, J. - Topological Vector Spaces and Distributions. Dover Publications; Reprint edition, 2012
NARICI, L.; BECKENSTEIN, E. - Topological Vector Spaces, Second Edition. Chapman and Hall/CRC; 2nd edition, 2010.

• Sistemas dinâmicos dissipativos: Estabilização de modelos lineares: a equação de ondas, equações de Maxwell, sistema de ondas elásticas, sistema de termoelasticidade linear.
• Estabilização de modelos não lineares: a equação não linear de placas, sistema de Von Karman, a equação de Korteweg - de Vries com dissipação localizada.
• O princípio de invariância de La Salle.

Bibliografia:
KOMORNIK, V - Exact Controllability and Stabilization. J.Wiley & Sons, Masson (1994)

• Formas modulares, curvas elíticas e curvas modulares
• Curvas modulares como superfícies de Riemann
• Fórmulas de dimensão
• Séries de Eisenstein
• Operadores de Hecke
• Jacobianas e varieades abelianas
• Curvas modulares como curvas algébricas
• A relação de Eichler-Shimura e funções L
• Representações galoisianas

Bibliografia:
DIAMOND, F.; SHURMAN, J. - A First Course in Modular Forms. Springer-Verlag;
APOSTOL, T.M. - Modular Forms and Dirichlet Series in Number Theory. Springer-Verlag, 1990;
LANG, S. - Elliptic Functions. Springer-Verlag;
SERRE, J-P. - A Course in Arithmetic. Springer-Verlag, 1985;
SHIMURA, G. - Introduction to the Arithmetic of Automorphic Functions. Princeton University Press, 1994;

• Subconjuntos fechados de espaços afins
• Variedades quase-projetivas
• Produtos e aplicações de variedades quase-projetivas
• Teoria de dimensão
• Pontos simples e pontos singulares
• Expansão em séries de potências
• Variedades normais
• Divisores
• Grupos algébricos
• Formas diferenciais
• Teoria de interseção

Bibliografia:
SHAFAREVICH, I. - Basic Algebraic Geometry. Springer-Verlag
LITAKA, S. - Algebraic Geometry: An Introduction to Birational Geometry of Algebraic Varieties. Springer-Verlag
HARRIS, J. - Algebraic Geometry. Springer-Verlag

• Esquemas. Cohomologia. Superfícies. Teoria de Interseção

Bibliography:

GROTHENDIECK, A. - Éléments de Géométrie Algébrique I. Springer-Verlag;
HARTSHORNE, R. - Algebraic Geometry. Springer-Verlag
MUMFORD, D. - The Red Book of Varieties and Schemes. Springer-Verlag

• Conceito de dimensão para conjuntos e medidas
• Conjuntos de Cantor e conjuntos auto-similares
• Relação com Teoria Ergódica e outros tópicos.

Bibliografia:
K. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons.
J. Palis, F. Takens, Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations. Fractal dimensions and infinitely many attractors. Cambridge University Press.
P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces.
Fractals and rectifiability, Cambridge University Press.

Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa:
Variedades Diferenciáveis: Métricas Riemannianas, conexões, geodésica, vizinhancas convexas.Curvaturas. Campos de Jacobi. Imersões Isométricas. Teorema de Hopf-Rinow e da Hadamard. Espaços deCurvatura Constante. Variações de Energia. Teorema de comparação re Rauch. Teorema do Índice deMorse. Teorema de Comparação de Volume. Teorema de Comparação de Autovalores. Desigualdades Isoperimétrica.

Bibliografia:
Geometria Reimanniana; Manfredo Perdigão do Carmo
- Riemannian Geometry: A modern introductions; Issac Chavel.

• Espaços vetoriais simpléticos, transformações lineares simpléticas, subespaços isotrópicos, coisotrópicos, Lagrangianos e simpléticos. Variedades simpléticas, campos simpléticos e Hamiltonianos, difeomorfismos Hamiltonianos.
• Fibrados cotangentes. Princípios variacionais, equações de Euler-Lagrange, transformada de Legendre, relação com equações de Hamilton, fluxos geodésicos e sistemas conservativos mais gerais. Subvariedades Lagrangianas, teorema de Darboux, teorema da vizinhança Lagrangiana.
• Conjectura de Arnold: enunciado geral e prova no caso C^1-próximo da identidade. Índices de Maslov. Equação de Hamilton-Jacobi, funções geradoras, aplicações. Formas de contato, estruturas de contato, campos de Reeb, o campo geodésico como campo de Reeb.

Bibliografia:

MCDUFF, D.;SALAMON, D. - Introduction to Symplectic Topology. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998.
HOFER, H.; ZEHNDER, E. - Symplectic invariants and Hamiltonian dynamics. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Verlag, Basel, 2011.
CANNAS DA SILVA, A. - Lectures on symplectic geometry. Lecture Notes in Mathematics, 1764. Springer-Verlag, Berlin, 2001.

• Teorema non-squeezing de Gromov. Curvas pseudo-holomorfas. Teorema de compacidade de Gromov.

• Capacidade simpletica. Capacidades de Gromov e Hofer-Zehnder.

• Capacidade de Hofer-Zehnder e a existencia de orbitas periodicas em niveis de energia. Estimativas para a capacidade de Hofer-Zehnder.

• O grupo de simplectomorfismos é fechado na topologia C^0: o teorema de rigidez de Eliashberg.

• A conjectura de Arnold. Homologia de Floer.

• A metrica de Hofer no grupo de difeomorfismos Hamiltonianos.

Bibliografia:

MCDUFF, D.;SALAMON, D. - Introduction to Symplectic Topology.

MCDUFF, D.;SALAMON, D. - J-holomorphic curves and Symplectic Topology.

HOFER, H.; ZEHNDER, E. - Symplectic capacities and Hamiltonian dynamics.

SALAMON, D. - Lectures on Floer homology.

POLTEROVICH, L. - The geometry of the group of symplectic diffeomorphisms.

• Introdução (Grupos de Matrizes): (a) Topologia. (b) Grupos topológicos. (c) Grupos Discretos. (d) Quatérnios.
• O Espaço Hiperbólico Tridimensional. (a) Representação como Semi-espaço Superior. (b) Representação como Bola Unitária. (c) Representação Hiperboloidal. (d) O Semi-espaço Superior como Espaço Simétrico.
• Grupos agindo descontinuamente no Espaço Hiperbólico Tridimensional. (a) Descontinuidade. (b) Domínios Fundamentais e Poliedros. (c) Lema e Shimizu. (d) Covolumes. (e) Geradores e relações. (f) Conjugação e Comensurabilidade.

Bibliografia:

BEARDON, A. F. - The geometry of discrete groups. Springer, 1983.

ELSTRODT, J.; GRUNEWALD, F.; MENNICKE, J. - Groups acting on hyperbolic space (Haronic analysis and number theory). Springer, 1998.

FINE, B. - The algebraic theory of the Bianchi groups. Marcel Dekker, 1989.

HAHN, A. J.; O’MEARA, O. T. - The classical groups and K-theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, Heidelberg, 1989.

CORRALES, C.;JESPERS, E.; LEAL, G.; DEL RIO, A. - Presentations of the unit group of an order in a non-split quaternion algebra, to appear in Advances in Mathematics.

• Polinômios.
• Séries de potências.
• Aplicações holomorfas e G-holomorfas.
• Fórmula integral de Cauchy e desigualdade de Cauchy.
• Convergência da série de Taylor.
• Holomorfia fraca.
• Topologias em espaços de aplicações holomorfas.
• Propriedades topológicas de H(U,F).
• Unicidade da continuação analítica.
• Princípio do módulo máximo.
• Aplicações holomorfas de tipo limitado.
• Domínios de Hb-holomorfia.
• O teorema de Cartan-Thullen para domínios de Hb-holomorfia.

Bibliografia:
[1] S. Dineen, Complex Analysis in Locally Convex Spaces, North-Holland, 1981.
[2] J. Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, North-Holland, 1985.
[3] S. B. Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces, Marcel Dekker, 1985.

• As equações fundamentais e o teorema fundamental das imersões isométricas
• Imersões umbílicas e mínimas
• Hipersuperfícies convexas
• Subvariedade com curvatura não positiva
• Redução de codimensão
• Imersões isométricas entre espaços de curvatura seccional constante
• Formas bilineares planas
• Rigidez isométricas global
• Subvariedades conformemente euclidianas
• Imersões conformes
• Outros tópicos.

Bibliografia:
CARMO, M. do - O Método do Referencial Móvel. Rio de Janeiro, III ELAM, IMPA, 1976
DAJCZER, , L. - Geometria das Subvariedades. Rio de Janeiro, Monografias de Matemáticas, IMPA, 1976;
SPIVAK, M. - A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Berkeley, Publish ou Perish, 1970-75;

• Variedades algébricas
• Curvas algébricas
• A geometria das curvas elíticas
• O grupo formal de uma curva elítica
• Curvas elíticas sobre corpos finitos
• Curvas elíticas sobre os complexos
• Curvas elíticas sobre corpos locais
• Curvas elíticas sobre corpos globais
• Pontos inteiros em curvas elíticas
• Calculando o grupo de Mordell-Weil

Bibliografia:
SILVERMAN, J.H. - The arithmetic of elliptic curves. Springer-Verlag

• Folheações holomorfas: definição, exemplos, holonomia.
• Suspensão de um grupo de difeomorfismos holomorfos.
• Folheações holomorfas com singularidades definição, exemplos, folheações singulares de dimensão l. Folheações Holomorfas Singulares de codimensão l.
• Holonomia. Grupos de germes de difeomorfismos holomorfos em uma variável,
• Singularidades de campos de vetores em dimensão 2. Singularidades de Campos de Vetores Holomorfos. Teoremas de linearização de Poincaré e forma normal de Dulac. Singularidades no domínio de Poincaré e Siegel. Topologia e dinâmica das singularidades não-degeneradas.
• Blow-up e Resolução de singularidades. Singularidades irredutíveis. Topologia das singularidades irredutíveis. Teorema de Seidenberg.
• O índice de Camacho-Sad e o Teorema da Separatriz.
• Integrais primeiras: Holonomia e holonomia projetiva. Teorema de Mattei-Moussu (existência de integral primeira holomorfa)
• Teorema de Cerveau-Mattei (integrais primeiras multiformes).

Bibliografia:

[1] C. Camacho e A Lins Neto: Teoria Geométrica das Folheações, Projeto
Euclides, 1979.
[2] C. Godbillon: Feuilletagés, Etudes Geométriques I, Université Louis Pasteur, Mai, 1985. [3] A. Lins Neto, B. Scárdua: Folheações Algébricas Complexas. 21 Colóquio Brasileiro de Matemática.
[4] J. Palis Jr. e W. C. de Melo: Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Projeto Euclides.
[5] M. Spivak : A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. l, second edition, Publish or Perish, Berkeley, 1979.
[6] N. Steenrod: The topology of fibre bundies; Princeton University Press, 1951.

• A geometria de curvas e variedades abelianas
• Funções altura
• Pontos racionais em variedades abelianas
• Aproximação diofantina e pontos inteiros em curvas
• Pontos racionais em curvas de gênero pelo menos dois.

Bibliografia:
HINDRY, M.; SILVERMAN, J. - Diophantine Geometry: An Introduction. Springer-Verlag
LANG, S - The Fundamentals of Diophantine Geometry. Springer-Verlag

• A geometria dos espaços de Hilbert: espaços de Hilbert separáveis e espaços LP.
• Operadores lineares limitados em espaços de Hilbert.
• A teoria espectral de operadores auto-adjuntos compactos.
• O teorema espectral para operadores compactos normais em espaços de Hilbert.
• A desigualdade fraca de Weyl.
• Operadores de Hilbert-Schmidt e da classe traço.
• O teorema do traço de Lidskij.
• Operadores compactos agindo em um espaço de Banach.
• Álgebras de Banach.
• Noções elementares da teoria das C*-álgebras.

Bibliografia:
[1] I. Gohberg e S. Goldberg, Basic Operator Theory, Birkhäuser Boston, 2001.
[2] J. R. Retherford, Hilbert Space: Compact Operators and the Trace Theorem, Cambridge University Press, 1993.
[3] G. Murphy, Operator Theory and C*-algebras, Academic Press, 1990.

• Transformações que preservam medidas: medidas invariantes.
• Recorrência.
• Conjugação.
• Exemplos: Shifts, transformações expansoras, hamiltonianos.
• Ergodicidade: teorema ergódico
• Medidas misturadoras
• Exemplos: rotações e automorfismos do toro
• Aplicações à Teoria dos Números.
• Decomposição ergódica de medidas invariantes.
• Entropia: teoremas de Kolmogorov-Sinai, Shannon-McMillan-Breiman e Brin-Katok.
• Exemplos e aplicações: fórmulas de Kac, Abramov.
• Pressão topológica e princípio variacional.
• Exemplos e aplicações. Fluxos. Teorema KAM. Teorema de Recorrência Múltipla de Furstenberg.

Bibliografia:
MAÑÉ, R - Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag, New-York, 1987;
KATOK, A.; HASSELBLATT, B. - Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge, 1995;
WALTERS, P. - An Introduction to Ergodic Theory. Springer, 2000;
OLIVEIRA, K.; VIANA, M. - Introdução à Teoria Ergódica. IMPA, XXV Coloquio Brasileiro de Matematica, IMPA, Rio de Janeiro, 2005;
VIANA, M. - Stochastic dynamics of deterministic systems. XXII Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1997.

• Aplicações do intervalo.
• A família quadrática. Homeomorfismos do círculo.
• Número de rotação.
• O Teorema de Denjoy.
• Aplicação deslocamento e suas propriedades.
• Sistemas Lineares.
• O teorema de Hartman.
• O Teorema de Poincare Bendixon e aplicações.
• O teorema da Variedade Estável para ponto fixo hiperbólico.
• O lema da inclinação.
• A ferradura de Smale.
• Automorfismos do toro.
• O solenoide.
• O atrator de Henon.
• Fluxos, orbitas periódicas, aplição de Poincare.
• O fluxo de Lorenz geométrico.

Bibliografia:
PALIS, C.Robinson de Melo - Introduction to Dynamical Systems
BRIN, M.; STUCK, G. - Introduction to Dynamical Systems

• Transformada de Fourier nos espaços das funções integráveis, de Schwartz, das funções quadrado integráveis, das distribuições temperadas.
• Teoremas de Riez-Thorin, de Stein, de Marcinkiewicz. Desilgualdades de Young e Hausdorff-Young e Hardy-Littlewood-Sobolev. Espaços de Sobolev.
• Equação de Schrodinger linear: efeitos regularizantes globais e locais.
• Equação de Schrodinger não linear: teoria local e global e formaçnao de singularidades.
• Equação de Korteweg-de Vries generalizada: teoria local e global.
• Aplicações.

Bibliografia:

T. Cazenave, Semi-linear Schrodinger Equations, Courant Lectures Notes 10, AMS, 2003
F. Linares, G. Ponce, Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, Universitext Springer, NY, 2009.
T. Kato, On the Cauchy problem for the generalized Korteweg-de Vries equation, Stud. Appl. Math, 8, 93—128, 1983.
T. Tao, Nonlinear Dispersive Equations, Local and Global Analysis, CBMS Regional Conferences Series in Mathematics, 106, AMS, 2006

• Somabilidade incondicional e absoluta em espaços de Banach..
• Fundamentos dos operadores p-somantes.
• Operadores somantes nos espaços Lp.
• Operadores em espaços de Hilbert e operadores somantes.
• Operadores p-integrais.
• Dualidade tracial.
• Operadores 2-fatoráveis.
• Ultraprodutos e reflexividade local.
• Operadores p-fatoráveis.
• Operadores (p,q)-somantes.
• Tipo e cotipo: resultados básicos.
• Série randomizada e operadores quase-somantes.
• K-convexidade e B-convexidade.
• Espaços com cotipo finito.
• Operadores fracamente compactos sobre C(K)-espaços.
• Tipo e cotipo em redes de Banach.
• Incondicionalidade local.
• Álgebras somantes.
• Teorema de Dvoretzky e fatoração de operadores.

Bibliografia:

[1] J. Diestel, H. Jarchow e A. Tonge, Absolutely Summing Operators, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2008.
[2] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces for Analysts,Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1996.

• Medidas invariantes
• Teorema de Birkhoff
• Transformações lineares expansoras do intervalo
• Partição de Markov
• Operador de transferência
• Propriedades estatísticas das medidas
• Decaimento de correlações e consequências
• Teorema de Borel-Cantelli e outros tópicos

Referências:
Baladi V. Positive transfer operators and decay of correlations, Advanced Series in Nonlinear Dynamics, 16 World Sci. Publ., NJ, (2000).
Liverani C. Invariant measures and their properties. A functional analytic point of view, Dynamical Systems. Part II: Topological Geometrical and Ergodic Properties of Dynamics. Centro di Ricerca Matematica “Ennio De Giorgi”: Proceedings. Published by the Scuola Normale Superiore in Pisa (2004).
Abraham Boyarsky, Pawel Góra: Laws of Chaos (Invariant Measures and Dynamical Systems in One Dimension), Birkhauser.
Ludwig Arnold: Random Dynamical Systems, Springer Verlag.
Marcelo Viana- Lectures on Lyapunov Exponents, Cambrige University Press.

• A Função Exponencial.
• Semigrupos Contínuos.
• Teorema de Hille Yosida.
• Formulas Exponenciais.
• Operadores Dissipativos.
• Teorema de Lumer-Phillips.
• Semigrupos Compactos e Holomorfos.
• Teoria da Pertubação.
• Problema de Cauchy Abstrato.
• Aplicações às Equações Diferenciais Parciais

Bibliografia:
GOMES, A.M. - Semigrupos de Operadores Lineares e Aplicações às Equações de Evolução 2ª edição. Textos de Métodos Matemáticos 19, IM-UFRJ, 1999;
PAZY, A. - Semigroups of Linear Operations and Applications to PDE, Applied Mathematical Sciences, Vol. 44. Springer Verlag, New York, 1983;
GOLDSTEIN, J.A. - Semigroups of Linear Operators and Applications. Oxford University Press, N.Y, 1985.

• Definição de conjunto seccionalmente hiperbólico. Exemplos.
• Propriedades básicas: A decomposição e o lema hiperbólico.
• Singularidades tipo Lorenz.
• Variedades estáveis fortes.
• Partição singular: definição e existência das partições singulares.
• Seção transversa singular: Definição e existência. Bandas adaptadas.
• Fluxos seccionalmente Anosov.
• Definição e examples. Caracterização dos conjuntos omega-limite.
• Existência de orbitas periódicas.
• Lemas de fechamento e de conexão. Mascaras De Venecia.
• Perturbação dos fluxos seccionalmente Anosov.
• Explosões. Conjuntos ômega limite das perturbações.
• Perturbações das mascaras de venecia.
• Topologia dos fluxos seccionalmente Anosov.
• Variedade ambiente e geometria transversa.
• Existência de singularidades tipo Lorenz.

Bibliografia:

Araújo, V., Pacifico, M. Three-dimensional flows.
Springer-Verlag, 2010.

Bautista, S., Morales, C.A., Lectures on sectional-Anosov flows.
Preprint IMPA serie D.

• Primeira variação do volune de uma subvariedade.
• Subvariedades mínimas.
• Subvariedades mínimas em espaços euclideanos e em esferas.
• Órbitas de um grupo de isometrias e subvariedades mínimas.
• Geometria Kahleriana e a desigualdade de Wirtinger.
• Segunda variação do volume; o teorema do índice para subvariedades mínimas; estabilidade.
• Problema de Plateau e suas generalizações.
• Superfícies mínimas em RN. Teorema de Chern-Osserman.
• Superfícies mínimas com curvatura total finita.
• Superfícies mínimas mergulhadas.
• Outros tópicos.

Bibliografia:
CHERN, S.S. - Minimal Submanifolds in a Riemannian Submanifolds, Notas. University of Kansas, 1968;
LAWSON, B. - Lectures on Minimal Submanifolds. Berkely, Publish or Perish, 1980;
OSSEMAN, R. - A Asurvey of Minimal Submanifolds, 1nd ed.. Dover Publ, 1988;
COSTA, C.J. - Funções Elípticas, Algébricas e Superfícies Mínimas. 18º Colóquio Brasileiro de Matemática. – IMPA – 1991.

Créditos: 4 / C.H.: 60

Ementa:
Definição de curvas algébricas e superfícies de Riemann. Funçãoes meromorfas e diferenciaismeromorfas. Fórmula de Hurwitz. Teorema de Riemann-Roch. Teorema de AbelJacobi. Aplicações. Espaçosde recobrimento e o teorema de uniformização. Relação com a geometria hiperbólica. Relação entresuperfícies de Riemann e curvas algébricas

Bibliografia:
- Farkas, H., KRA, I. Riemann Surfaces. Berlin, Springer Verlag, 1980
- Griffiths, P. A. Introduction to Algebraic Curves. Boston, AMS, Trans. Math. Monographs, 76, 1989.

• Inteiros algébricos: inteiros gaussianos, integralidade, ideais, reticulados, teoria de Minkowski, finitude do número de classes, teorema dos invertíveis de Dirichlet, extensões de domínios de Dedekind, teoria de ramificação de Hilbert, corpos ciclotômicos, localização, ordens, esquemas unidimensionais, corpos de funções
• Teoria de valorizações : corpo dos p-ádicos, valor absoluto p-ádico, valorizações, completamentos, corpos locais, corpos henselianos, extensões não ramificadas e moderamente ramificadas, extensões de valorizações, teoria de Galois para valorizações, grupos de ramificação superior
• Teoria de Riemann-Roch : primos no infinitos, diferente e discriminante, Riemann-Roch, O-módulos metrizáveis, grupos de Grothendieck, caráter de Chern, Grothendieck-Riemann-Roch, característica de Euler-Minkowski

Bibliografia:

NEUKIRCH, J. - Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, Grundlehren 322

LANG, S. - Algebraic Number Theory. Addison-Wesley

FRÖLICH, A.; TAYLOR, M. - Algebraic Number Theory. Cambridge Univeristy Press

• Teoria de Galois infinita,

• Teoria geral de corpos de classe (Leis de reciprocidade),

• Teoria local de corpos de classe,

• Teoria global de corpos de classe,

• Funções zeta e funções L

Bibliografia:

ARTIN, E.; TATE, J. - Class Field Theory. Benjamin, 1967;

NEUKIRCH, J. - Class Field Theory. Springer-Verlag, Grundlehren, 1986;

NEUKIRCH, J. - Algebraic Number Theory. Springer-Verlag;

LANG, S. - Algebraic Number Theory. Addison-Wesley.

• Funcoes de Morse; Lema de Morse; existencia de funcoes de Morse.
• Determinacao do tipo homotopico de uma variedade via funcoes de Morse.
• Desigualdades de Morse; teoria de min-max e o teorema do passo da montanha.
• Teorema de Lefschetz sobre secoes hiperplanas.
• Teoria de Morse para o funcional de energia: aplicacoes a geodesicas.
• Teorema de periodicidade de Bott.
• Cobordismos e cancelamento de handles: o teorema do h-cobordismo.
• Introducao à homologia de Morse-Smale-Witten.

Bibliografia:
MILNOR, J. - Morse theory.
NICOLAESCU, L. - An invitation to Morse theory.
MATSUMOTO, Y. - An introduction to Morse theory.
MILNOR, J. - Lectures on the h-cobordism theorem (notes by L. Siebenmann and J. Sondow).
BANYAGA, A.;HURTUBISE, D. - Lectures on Morse homology.

• Os teoremas de Helly e de Hahn.
• Caracterizações sequenciais de reflexividade e o teorema de James.
• Funcionais suporte e os teoremas de Bishop-Phelps.
• Compacidade fraca e o teorema de Eberlein-Šmulian.
• Bases de Schauder.
• Bases incondicionais.
• Bases e dualidade.
• O espaço J de James.
• Espaços de Banach que contêm ℓ1.
• O teorema ℓ1 de  Rosenthal.
• A propriedade da aproximação.
• Espaços estritamente convexos e espaços uniformemente convexos.
• Espaços suaves e espaços uniformemente suaves.

Bibliografia:

MEGGINSON, R.E. -An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998

FABIAN, M.; HABALA, P.; HÁJEK, P.; MONTESINOS SANTALUCÍA, V.; PELANT, J.; ZIZLER, V. -Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry. Springer-Verlag, 2001

DIESTEL, J. -Sequences and Series in Banach Spaces. Springer-Verlag, 1984

FLORET, K. -Weakly Compact Sets. Springer-Verlag, 1980.

• Expoentes de Lyapunov
• Teorema de Oseledets e desigualdade de Ruelle
• Teoria de hiperbolicidade não uniforme (de Pesin) e propriedades de medidas hiperbólicas
• Fórmula de Pesin
• Medidas hiperbólicas e Teorema de Katok
• Atratores e medidas físicas.
• Ergodicidade do fluxo geodésico em superfícies de curvatura constante negativa

Referências:

Mañé, R - Ergodic Theory and Differentiable Dynamics. Springer-Verlag,
New-York, 1987
Katok, A.; HASSELBLATT, B. - Introduction to the Modern Theory of
Dynamical Systems, Cambridge, 1995
Barreira, L. ; Pesin, Y. - Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic
Theory. University Lecture Series 23, American Mathematical Society,
2001
Barreira, L. ; Pesin, Y. - Nonuniform Hyperbolicity. Dynamics of
Systems with Nonzero Lyapunov Exponents. Cambridge, 2007

• Transformada de Fourier e distribuições temperadas. Espaços de Sobolev.
• Operadores lineares limitados e não limitados, fechados e fecháveis. Resolvente e espectro.
• Semigrupos contínuos de operadores e gerador infinitesimal.
• Integrais de Riemann-Stieltjes e de Lebesgue-Stieltjes.
• Operadores simétricos e autoadjuntos.
• Teorema espectral para operadores autoadjuntos e unitários. Teorema espectral para operadores normais na forma de integral e na forma de multiplicação.
• Cálculo funcional. Teorema de Stoe.
• Espectro discreto e espectro essencial. Teorema de Kato-Rellich.

Bibliografia:
N. I. Akhiezer, I. M. Glazman, Theory of linear operators in Hilbert space. Volumes I e II, Moniogragraphs and Studies in Mathematics 9, Pitman, 1981.
T. Kato, Perturbation Theory for Linear operators, Spreinger, 1980.
B. Nagy, F. Riesz, Functional Analysis, NY: Frederick Unger, 1955.

Carga didática: 4 horas semanais
Nível: Doutorado.

Ementa

• Teorema de cobertura de Vitali e de Besicovitch.
• Diferenciação de Medidas de Radon.
• Convergência fraca e compacidade de medidas de Radon.
• Medida de Hausdorff.
• Dimensão de Hausdorff.
• Desigualdade Isodiamétrica.
• Densidades e propriedades elementares.
• Funções Lipschitz e Teorema de Rademacher.
• Jacobianos.
• Formula da área e coarea.
• Funções de Variação Limitada: Teorema da estrutura, compacidade, traço, fórmula da coarea e relação com a variação essencial sobre retas.
• Teoremas de imersão e desigualdades isoperimétricas para funções BV.
• Propriedades Finas de funções BV.
• Funções convexas: Teorema de Aleksandrov.
• Teorema de aproximação de Whitney.

Referências:

- EVANS, L.C., GARIEPY, R.J. - Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, 1992.
- GIUSTI, E. - Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkhauser, Boston, 1984.
- AMBROSIO, L., FUSCO, N., PALLARA, D. – Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems, Oxford Science Publications, 2000.
- FEDERER, H. – Geometric Measures Theory, Spring-Verlag, New York, 1969.
- ZIEMER, W. – Weakly Differentiable Functions, Spring-Verlag, New York, 1989.

Motivação e definições básicas, Folheações regulares, Folheações singulars, Folheações geradas por campo de vetores e folheações dadas por formas diferenciais, Teorema de Frobenius, Folheações definidas por formas de Pfaff fechadas. Folheações analíticas. Folheações de toros e esferas, Folheações transversais a uma fibração, Suspensão de um grupo de difeomorfismos. Ações que geram folheações. Topologia das folhas, Conjuntos minimais e folhas fechadas, Pseudogrupo de Holonomia e a construção de Haefliger, Grupo de holonomia de uma folha, Teoremas de estabilidade global em co-dimensão um. Teorema de estabilidade local de Haflieger. O Teorema de Novikov dos ciclos evanescentes. Existência de folhas compactas. Componente de Reeb. Folheações transversalmente de Lie e transversalmente homageneas, O Teorema de Darboux.
Bibliografia:
[1] C. Camacho e A Lins Neto: Teoria Geom ́etrica das Folheac ̧ ̃oes, Projeto Euclides, 1979.
[2] C. Godbillon: Feuilletages, E ́tudes Geom ́etriques I, Universit ́e Louis Pasteur, Mai, 1985. [3] A. Lins Neto, B. Sc ́ardua: Folheac ̧ ̃oes Alg ́ebricas Complexas. 21 Col ́oquio Brasileiro de Matemática.
[4] J. Palis Jr. e W. C. de Melo: Introdu ̧c ̃ao aos Sistemas Dinˆamicos, Projeto Euclides.
[5] M. Spivak : A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, second edition, Publish or Perish, Berkeley, 1979.
[6] N. Steenrod: The topology of fibre bundles; Princeton University Press, 1951.


• Grupos e álgebras de Lie; métricas bi-invariantes.
• Representação adjunta; forma bilinear de Killing.
• Espaços homogêneos; métricas invariantes à esquerda e bi-invariantes. Espaços simétricos; exemplos.
• Geometria do Laplaceano. Outros tópicos.

Bibliografia:
CHAVEL, I. - Riemannian Geometry: A Moder Introduction. Cambridge U. Press, 1993;
CHEEGER, J.; EBIN, D. - Comparison Theorems on Riemannian Geometry. North-Holland, 1975;
JOST, J. - Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1955;
SAKAI, T. - Riemannian Geometry, ªM.S., Mathematical Monographs,vol. 149.
SPIVAK, M. - A Comprehensive Introduction to Differential Geometriy. Publish or Perish, 1975

• Decomposição de Littlewood-Paley,
• Espaços de funções e decomposição de Littlewood-Paley,
• Cálculo paradiferencial,
• Aplicações no estudo das equações de Navier-Stokes,
• Aplicações no estudo de turbulência.

Modelos não-lineares são caracterizados pela interação entre diferentes escalas espaciais, e o estudo destes modelos depende essencialmente de quantificar precisamente esta interação. A análise de Fourier pode ser entendida como o estudo dos métodos matemáticos para decomposição de funções em diferentesescalas. Esta disciplina tem como objetivo um estudo sobre o uso de métodos de análise de Fourier, especialmente a decomposição de Littlewood-Paley, a teoria de espaços de Besov e o cálculo paradiferencial para descrever e analisar a interação entre diferentes escalas espaciais em problemas não-lineares. A disciplina será dividida em duas etapas: primeiro, uma breve introdução a estes métodos de análise harmônica e, em seguida, discutiremos alguns exemplos de aplicações destes métodos a problemas de dinâmica dos fluidos e turbulência.
A decomposição de Littlewood-Paley refere-se à decomposição de uma função em componentes que correspondem a frequências de Fourier localizadas. Esta decomposição é usada, por exemplo, para definir os espaços de Besov de funções, que são uma escala (mais) fina (do que espaços de Sobolev), em termos de regularidade, de espaços funcionais. O cálculo paradiferencial trata do produto de distribuições temperadas e dirige-se, especificamente, ao tratamento de nãolinearidades, particularmente a interação entre escalas, através de métodos de Fourier. Esse conjunto de ferramentas foi usado no estudo de turbulência em dinâmica dos fluidos, pela primeira vez, no artigo seminal de P. Constantin [1]. Se houver tempo pretendemos discutir várias aplicações, incluindo [1] e aplicações mais recentes tais como a demonstração parcial da conjetura de Onsager, modelos tipo shell para turbulência, além de espaços críticos para boa-colocação das equações de Navier-Stokes em 3D.
Alguns textos em que nos basearemos são [2] e [3].
Bibliografia:
[1] P. Constantin, The Littlewood-Paley Spectrum in Two-Dimensional Turbulence
Theoretical and Computational Fluid Dynamics, Vol. 9, (1997) 183-189.
[2] H. Bahouri, J.-Y. Chemin and R. Danchin, Fourier Analysis and Nonlinear
PDE, Springer-Verlag, 2011.
[3] G. Métivier, Para-differential Calculus and Applications to the Cauchy Problem for Nonlinear Systems, Springer-Verlag, 2008.

• Homologia singular: definição e propriedades. Homologia relativa. Axiomas de Eilenberg-Steenrod.

• Grupo fundamental e sua relação com a homologia singular: o teorema de Hurewicz.

• Grau de aplicações da esfera via a ação na homologia. Aplicações.

• CW-complexos e homologia celular. Isomorfismo entre homologia singular e celular.

• Cálculo dos grupos de homologia de superfícies compactas; outros exemplos e aplicações. Sequência de Mayer-Vietoris.

• Cohomologia de Rham; suporte compacto. Cohomologia singular. Teorema de de Rham. • Dualidade de Poincare.

• Fórmulas de Kunneth e o teorema dos coeficientes universais.

Bibliografia:

BREDON, G. - Geometry and Topology.

HATCHER, A. - Algebraic Topology.

LIMA, E. - Homologia basica.

BOTT, R.; TU, L. - Differential forms in Algebraic Topology.

Formas diferenciais fechadas e formas exatas. Definição dos Grupos de Cohomologia de De Rham e exemplos. Cohomologia do Rˆn e de Sˆn. Cálculo da cohomologia de dimensão maxima de variedades compactas ou não, orientáveis ou não. Cohomologia dos grupos de Lie. Grau de aplicações e independência do grau na classe de homotopia. Complexos duais e quocientes, Sequências exatas curtas e longas. Lema dos cinco. Sequência de Mayer-Vietoris. Triangulação de variedades compactas. Finitude da dimensão dos grupos de Cohomologia de De Rham. Relação entre a característica de Euler e simplexos de uma triangulação.

Bibliografia:
[1] Morris W. Hirsch: Differential Topology. Springer-Verlag. New-York 1976.
[2] E.L. Lima : Introdu ̧c ̃ao `a Topologia Diferencial; Notas de Matem ́atica no ̄23, IMPA 1961.
[3] M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1,2 second edition, Publish or Perish, Berkeley, 1979.
[4] J. Milnor: Morse Theory; “Annals of Mathematics Studies”, Princeton Uni- versity Press, 1963.

• Variedades diferenciáveis: definição e exemplos.
• Aplicações diferenciáveis, imersões, mergulhos e submersões.
• Partições da unidade.
• Teorema de Sard.
• Teorema de Whitney.
• Variedades com bordo.
• Variedades orientáveis.
• Teoria do grau e aplicações: teorema do ponto fixo de Brouwer, teorema da invariância do domínio.
• Teorema de Hopf: classificação homotópica das aplicações na esfera.
• Transversalidade, números de interseção e propriedades.
• Campos de vetores, teorema de Poincaré-Hopf e aplicações.
• Formas diferenciais, teorema de Stokes e aplicações.

Bibliografia:
MILNOR, J. W. - Topology from the differentiable viewpoint. University of Virginia Press, Charlottesville, 1966.
HIRSCH, M. W. - Differential topology.Springer-Verlag, New York, 1976.
WARNER, F. W. - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.Springer-Verlag, 1983.

• Domínio de Holomorfia.
• Domínios pseudo-convexos.
• Teorema de Cartan - Thullen - Oka.
• Envoltórias deholomorfia. Germes holomorfos.
• Teoremas de Wierstrass.

Bibliografia:
[1] L. Nachbin - Holomorphic functions, Domains of Holomorphy and Local Propecties - Noth Holland Math.Studies 1 (1980);
[2] L. Hormander - Na Introduction to Complex Analysis in Several Variables - VanNostrand (1966);
[3] R Narasimhan - Several Complex Variables - Chicago Lectures in Mathematics - The University of Chicago Press (1971).

• Revisão de anéis, ideais e módulos.
• Anéis noetherianos e teorema da base.
• Teorema dos zeros.
• Espectro.
• Localização.
• Mdulos projetivos.
• Ideais primos e decomposição primária.
• Extensões integrais e teoremas de subida e descida.
• Teoria de dimensão.
• Módulos planos.

Bibliografia

(1) M. Artin, Commutative rings, notas de aula (1966).

(2) M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, 
Addison-Wesley.

(3) I. Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press.

(4) E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birk
h ̈auser.

(5) O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra I and II, Springer.

• Operadores hipercíclicos e caóticos.
• Hiperciclicidade e conexidade.
• Existência de operadores hipercíclicos.
• Operadores frequentemente hipercíclicos.
• Superciclicidade e o critério de ângulo.
• Dinâmica linear e a topologia fraca.
• Universalidade da função zeta de Riemann.
• O operador de Read.

Bibliografia:

[1] K.-G. Grosse-Erdmann e A. Peris, Linear Chaos, Springer-Verlag, 2011.
[2] F. Bayart e É. Matheron, Dynamics of Linear Operators, Cambridge University Press, 2009.

• Fibrados vetoriais e noções algébricas afins.
• O grupo K0. O functor K1.
• O teorema de periodicidade de Bott.
• A estrutura multiplicativa da K-teoria e as operações de Adams.
• Classes características.
• A K-teoria de produtos cruzados.
• Extensão da K-teoria para C*-álgebras.
• A KK-teoria de Kasparov.

Bibliografia:

[1] E. Park, Complex Topological K-Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2008.
[2] B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 1998.
[3] M. Rørdam, F. Larsen e N. Laustsen, An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, London Mathematical Society Student Texts, 2000.
[4] M. Atiyah, K-Theory, Westview Press, 1994.

Sequência exata de uma subvariedade compacta. Teorema de Jordan-Brower e aplicações. O Produto Cup. Dualidade de Poincaré. O priemiro grupo de Cohomologia com suporte compacto. Simplexos e cadeias singulars, Homologia e cohomologia singular. Sequência exata de homologia de um par. Construção do cone e do prisma. O Teorema do Isomorfismo de De Rham. Relação com a característica de Euler. Espaços fibrados vetoriais. Classe de Thom. Classe de Euler. Campos de Vetores. Singularidades isoladas e índice. Teorema de Poincaré-Hopf.

Bibliografia:

1. Morris W. Hirsch: Differential Topology. Springer-Verlag. New-York 1976.

2. L. Lima : Introdu ̧c ̃ao `a Topologia Diferencial; Notas de Matem ́atica no ̄23, IMPA 1961.

3. M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1,2 second edition, Publish or Perish, Berkeley, 1979.

4. J. Milnor: Morse Theory; “Annals of Mathematics Studies”, Princeton Uni- versity Press, 1963.

5. B. Doubrovine, S. Novikov, A. Fomenko: G ́eom ́etrie contemporaine. M ́ethodes et applications. 3o ̄partie. E ́ditions Mir - Moscou 1984.

6. W.S. Massey: Algebraic Topology: an introduction. Harcourt, Brace & World, 1967.

7. E. Spanier: Algebraic Topology. New York 1966.

8. N. Steenrod: The topology of fibre bundles. Princeton University Press, 1951.

• Revisão de anéis, ideais e módulos.

• Anéis noetherianos e teorema da base.

• Teorema dos zeros.
• Espectro.
• Localização.
• Mdulos projetivos.
• Ideais primos e decomposição primária.
• Extensões integrais e teoremas de subida e descida.
• Teoria de dimensão.
• Módulos planos.

Bibliografia:
(1) M. Artin, Commutative rings, notas de aula (1966).
(2) M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, 
Addison-Wesley.
(3) I. Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press.
(4) E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birk
h ̈auser.
(5) O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra I and II, Springer.

Carga Horária: 60h/aula (4 créditos)

EMENTA: Seminário sobre tópicos atuais em Matemática Computacional.

Ementa: Sequência exata de uma subvariedade compacta. Teorema de Jordan-Brower e aplicações. O Produto Cup. Dualidade de Poincaré. O priemiro grupo de Cohomologia com suporte compacto. Simplexos e cadeias singulars, Homologia e cohomologia singular. Sequência exata de homologia de um par. Construção do cone e do prisma. O Teorema do Isomorfismo de De Rham. Relação com a característica de Euler. Espaços fibrados vetoriais. Classe de Thom. Classe de Euler. Campos de Vetores. Singularidades isoladas e índice. Teorema de Poincaré-Hopf.

Bibliografia:

[1]  Morris W. Hirsch: Differential Topology. Springer-Verlag. New-York 1976.

[2]  E.L. Lima : Introdu ̧c ̃ao `a Topologia Diferencial; Notas de Matem ́atica no ̄23, IMPA 1961.

[3]  M. Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1,2 second edition, Publish or Perish, Berkeley, 1979.

[4]  J. Milnor: Morse Theory; “Annals of Mathematics Studies”, Princeton Uni- versity Press, 1963.

[5]  B. Doubrovine, S. Novikov, A. Fomenko: G ́eom ́etrie contemporaine. M ́ethodes et applications. 3o ̄partie. E ́ditions Mir - Moscou 1984.

[6]  W.S. Massey: Algebraic Topology: an introduction. Harcourt, Brace & World, 1967.

[7]  E. Spanier: Algebraic Topology. New York 1966.

[8]  N. Steenrod: The topology of fibre bundles. Princeton University Press, 1951.

• O Espaço Projetivo Complexo, Folheações em Espaços Projetivos Complexos, Grau de uma Folheação, Singularidades Genéricas de Folheações Projetivas, Folheações de Codimensão l em CP(n), Soluções Algébricas de Folheações em CP(2), Soluções Algébricas, O Teorema do índice de Camacho-Sad para curvas e divisores, O Teorema de Baum-Bott em CP(2), Folheações sem Soluções Algébricas.O Teorema de Darboux-Lie sobre o número de soluções algébricas de uma folheação projetiva.
• Conjuntos limites de folheações complexas, Grupos de Difeomorfismos Locais com órbitas discretas, Holonomia Virtual, Folheações com Conjunto Limite Analítico, Construção de Formas Meromorfas Fechadas, O Teorema de Linearização, O Teorema de Rigidez topológica de Ilyashenko: Equivalências Topológicas e Analíticas, Folheações com uma Reta Invariante, Rigidez das Holonomias, deformações de folheações holomorfas. Teorema de Ilyashenko.

Bibliografia
[1] Camacho, C., Sad, P. - Pontos Singulares de Equa ̧c ̃oes Diferenciais Anal ́ıticas, Rio de Janeiro, 16o Col ́oquio Brasileiro de Matem ́atica, IMPA, 1987.
[2] Cerveau, D., Mattei, J. F. - Formes Int ́egrables Holomorphes Singulires. As- trisque 97, 1986.
[3] C. Camacho e A Lins Neto: Teoria Geom ́etrica das Folhea ̧c ̃oes, Projeto Eu- clides, 1979.
[4] C. Godbillon: Feuilletages, E ́tudes Geom ́etriques I, Universit ́e Louis Pasteur, Mai, 1985.
[5] A. Lins Neto e B. Sc ́ardua: Folheac ̧ ̃oes Alg ́ebricas Complexas, 21o Col ́oquio Brasileiro de Matem ́atica, IMPA - Rio de Janeiro, 1997.
[6] X. Gomez-Mont, L. Ortiz-Bobadilla: Sistemas Dinamicos Holomorfos en Superficies; Sociedad Matematica Mexicana, 1989.