• Revisão de anéis, ideais e módulos.
• Anéis noetherianos e teorema da base.
• Teorema dos zeros.
• Espectro.
• Localização.
• Mdulos projetivos.
• Ideais primos e decomposição primária.
• Extensões integrais e teoremas de subida e descida.
• Teoria de dimensão.
• Módulos planos.

Bibliografia

(1) M. Artin, Commutative rings, notas de aula (1966).

(2) M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, 
Addison-Wesley.

(3) I. Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press.

(4) E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birk
h ̈auser.

(5) O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra I and II, Springer.

• Variedades diferenciáveis: definição e exemplos.
• Aplicações diferenciáveis, imersões, mergulhos e submersões.
• Partições da unidade.
• Teorema de Sard.
• Teorema de Whitney.
• Variedades com bordo.
• Variedades orientáveis.
• Teoria do grau e aplicações: teorema do ponto fixo de Brouwer, teorema da invariância do domínio.
• Teorema de Hopf: classificação homotópica das aplicações na esfera.
• Transversalidade, números de interseção e propriedades.
• Campos de vetores, teorema de Poincaré-Hopf e aplicações.
• Formas diferenciais, teorema de Stokes e aplicações.

Bibliografia:
MILNOR, J. W. - Topology from the differentiable viewpoint. University of Virginia Press, Charlottesville, 1966.
HIRSCH, M. W. - Differential topology.Springer-Verlag, New York, 1976.
WARNER, F. W. - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups.Springer-Verlag, 1983.

• Funcoes de Morse; Lema de Morse; existencia de funcoes de Morse.
• Determinacao do tipo homotopico de uma variedade via funcoes de Morse.
• Desigualdades de Morse; teoria de min-max e o teorema do passo da montanha.
• Teorema de Lefschetz sobre secoes hiperplanas.
• Teoria de Morse para o funcional de energia: aplicacoes a geodesicas.
• Teorema de periodicidade de Bott.
• Cobordismos e cancelamento de handles: o teorema do h-cobordismo.
• Introducao à homologia de Morse-Smale-Witten.

Bibliografia:
MILNOR, J. - Morse theory.
NICOLAESCU, L. - An invitation to Morse theory.
MATSUMOTO, Y. - An introduction to Morse theory.
MILNOR, J. - Lectures on the h-cobordism theorem (notes by L. Siebenmann and J. Sondow).
BANYAGA, A.;HURTUBISE, D. - Lectures on Morse homology.