Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa
1. Álgebras de Banach.
2. Espectro de um elemento.
3. Raio espectral.
4. O teorema de Gelfand-Mazur.
5. O grupo dos elementos invertíveis.
6. Homomorfismos complexos.
7. Espectro de uma álgebra.
8. Cálculo simbólico.
9. Álgebras de Banach comutativas: Ideais e homomorfismos.
10. Álgebras semi-simples.
11. Transformação de Gelfand.
12. Álgebras de funções.
13. Álgebras uniformes.
14. Fronteiras.
15. Involuções.
16. C*-álgebras comutativas.
17. O teorema de Gelfand-Naimark.
18. Funcionais positivos.
Bibliografia:
[1] R. Larsen, Banach Algebras: an Introduction, Marcel Dekker, 1973.
[2] E.L. Stout, The Theory of Uniform Algebras, Bogden & Quigley, 1971.
[3] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991.
Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa
1. Espaços de Banach.
2. Aplicações lineares e contínuas.
3. O teorema de Hahn-Banach.
4. O teorema de Banach-Steinhaus.
5. Os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.
6. Dualidade.
7. Topologias fraca e fraca-estrela.
8. Os teoremas de Banach-Alaoglu e de Goldstine.
9. Espaços reflexivos.
10. Operadores compactos entre espaços de Banach.
11. Operadores de Fredholm e a alternativa de Fredholm.
12. Auto-valor, auto-espaço e espectro.
13. Decomposição espectral.
14. Espaços de Hilbert e sua geometria.
15. Operadores auto-adjuntos e normais.
16. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos e normais.
Bibliografia:
[1] J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985.
[2] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos Santalucía, J. Pelant e V. Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, 2001.
[3] G. Bachman e L. Narici, Functional Analysis, Dover Publications, 2000.
Carga didática: 4 horas semanais
Nível: Mestrado
Ementa: - Medida e medida exterior: medidas em anéis e sigma-álgebras. Propriedades. Medida exterior. Medida de Lebesgue em RN . Caracterização. Extensão de medidas. Construção das medidas de Stieltjes. - Funções mensuráveis e Integração: funções mensuráveis, propriedades, conjuntos não mensuráveis a Lebesgue. A integral de Lebesgue. Teoremas de Convergência. Os Espaços Lp . Completude e separabilidade. Duais e Isometrias. Medidas produto. Teorema de Fubini e Tonelli. Aplicações. - Medidas com sinal: Teoremas de decomposição da Hahn e Jordan. Continuidade absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de decomposição de Lebesgue. - Diferenciação: Derivação de medidas. Diferenciação de funções. Teorema de Lebesgue. Funções absolutamente contínuas e a integral definida.
Referências:
P. R. Halmos; Mesure Theory, Springer-Verlag, NY, 1974.
A. J. Weir; Lebesgue Integration and Mesure, Cambridge University Press, 1973
