Ementa
• Definição e exemplos de variedades,
• Mapas suaves entre variedades, difeomorfismos,
• Vetores tangentes, o espaço tangente, derivações e curvas,
• O diferencial de uma aplicação suave,
• O teorema de função implícita e aplicações, pontos críticos e regulares,
• Imersões, mergulhos e submersões,
• Campos vetoriais, o colchete de Lie, fluxos de campos vetoriais,
• Métricas Riemannianas, conexões, aplicações em hipersuperfícies em Rn,
• Formas diferenciais em Rn, formas diferenciais em variedades,
• Operações com formas, produto e derivada exterior,
• Orientações em espaços vetoriais e variedades,
• Variedades com bordo,
• Integração de formas em Rn, integração de formas em variedades e em variedades com bordo, o teorema de Stokes,

Conteúdo Programático

(1) Definições e Construções Básicas
• Subvariedades em espaço euclideano como exemplos motivantes,
• Topologia e funções suaves em Rn,
• Definição e exemplos de variedades,
• Mapas suaves entre variedades, difeomorfismos,

(2) O Espaço Tangente, o Diferencial de uma Aplicação Suave
• Vetores tangentes, o espaço tangente, derivações e curvas,
• O diferencial de uma aplicação suave,
• O teorema de função implícita e aplicações, pontos críticos e regulares,
• Mais exemplos, quocientes, a soma conexa, grupos de Lie, variedades compactas e não-compactas,
• Imersões, mergulhos e submersões, mais sobre superfícies euclideanas, aplicação de Gauss, segunda forma fundamental,

(3) Cálculo em Variedades

• Campos vetoriais, o colchete de Lie, fluxos de campos vetoriais, difeomorfismos locais,
• Métricas Riemannianas, conexões, aplicações em hipersuperfícies em Rn,
• Partições de unidade,
• Formas diferenciais, em Rn e em variedades,
• Operações com formas, produto e derivada exterior, pull-back, derivada de Lie,
• Orientações, em espaços vetoriais e variedades, relação com n-formas,
• Variedades com bordo,
• Integração de formas em Rn, integração de formas em variedades e em variedades com bordo, o teorema de Stokes,

(4) Tópicos Optatívos
• Teoria de superfícies via o referencial móvel, teorema de Gauss-Bonnet,
• O fibrado tangente como uma variedade, fibrados vetoriais, tensores, seçõoes de fibrados vetoriais, propriedades básicas, segunda forma fundamental como um tensor,
• O teorema de Frobenius usando campos vetoriais e formas diferenciais,
• Cálculo e derivadas de tensores e seções de outros fibrados,
• Formas fechadas e exatas, definição de cohomologia de De Rham, invariânça por difeomorfismo,
• Um desvio para sequˆencias exatas, o teorema de Mayer-Vietoris, exemplos,

Bibliografia

(1) Loring Tu, An Introduction to Manifolds, Springer UTX.
(2) Thierry Aubin, A Course in Differential Geometry, AMS Graduate Studies in Mathematics.
(3) Manfredo do Carmo, Formas Diferenciais e Aplica¸c˜oes, SBM.
(4) Michael Spivak, O C´alculo em Variedades, Ciˆencia Moderna,
(5) John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer.
(6) Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer
GTM.