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Disciplinas do Núcleo Básico (Obrigatórias)

Ementa: - Espaços Vetoriais e Transformações Lineares. Bases e Dimensão. Determinantes e Formas Multilineares. Produto Interno. Espaço Dual. - Auto-Valores e Auto-Vetores, Complexificação. Operadores Simétricos, Unitários e Normais. Decomposição Espectral. Forma Canônica de Jordan. Decomposição em Valores Singulares. Normas de Matrizes. Condicionamento.
Referências:
G. Strang, Linear Algebra and its Aplications, Academic Press, 1976.
P. Halmos, Finite Dimensional Vector Spaces, Springer-Verlag, 1974.
M. Gelfand, Lectures on Linear Algebra, Interscience Publ., NY, 1961.
K. Hoffman & R. Kunze, Álgebra Linear, Polígono, São Paulo, 1971.
B. Noble & J. W. Daniel, Álgebra Linear Aplicada, Prentice/Hall do Brasil, Segunda Edição, 1986.

Ementa: - Integração Múltipla: Critério de Riemann-Lebesgue, Medida Nula. Integrais Iteradas. O Jacobiano e Mudanças de Variáveis. Integrais de Linha e de Superfície. Potencial, Teoremas de Stokes e Gauss. Noções sobre Formas Diferenciais.
Referências:
R. Courant & F. John, Introduction to Calculus and Analysis, vol.2, Wiley, 1974.
L. H. Loomis & S. Sternberg, Advanced Calculus, Addison-Wesley, 1968.
E. L. Lima, Curso de Análise, vol.2, Projeto Euclides, IMPA, 1985.

Ementa: - Funções Holomorfas, Séries de Potências, Funções Elementares, o Logaritmo. - Teorema de Cauchy, Fórmula Integral de Cauchy, Aplicação à Determinação da Série de Taylor de uma Função Holomorfa. - Singularidades, Zeros e Polos, Aplicações Locais, Princípio do Máximo, Cálculo dos Resíduos, Princípio do Argumento, Cálculo de Integrais Definidas.
Referências:
R. Courant & F. John, Introduction to Calculus and Analysis, vol.2, Wiley, 1974.
L. V. Ahlfors, Complex Analysis, Mc Graw-Hill, NY, 1966.
H. Cartan, Théorie Elementaire des Fonctions Analytiques d'une ou plusieurs Variables Complexes, Hermann, Paris, 1961.

Disciplinas Específicas

Ementa: - Anel, Corpo, Subanel, Ideais e Anéis Quocientes. - Anel de Polinômios em uma variável sobre um corpo, Algoritmo de Divisão, Algoritmo do Máximo Divisor Comum, Teorema de Fatoração Única, Lema de Gauss, Critérios de Irredutibilidade. - Grupos, Grupos de Simetria, Subgrupos, Homomorfismos, Subgrupos Normais, Grupos Quocientes, Grupos de Permutação, Grupos Solúveis. - Extensões algébricas e transcendentes de subcorpos de C, Multiplicidade do Grau de extensões, Extensão de Imersões, Corpos de Decomposição, Teorema Fundamental da teoria de Galois, Resolubilidade por Radicais.
Referências:
G. Birkhoff & S. MacLane; Álgebra Moderna, Editorial Vicens-Vives, Barcelona, 1963.
S. Lang; Álgebra, Addison-Wesley, 1972.

Ementa: - Aritmética Finita. Erro de arredondamento. Condicionamento de Sistemas Lineares. - Decomposição em Valores Singulares. Decomposição de Schur. - Métodos diretos para resolução de Sistemas Lineares. Método de Gauss e Decomposição QR. Análise de Estabilidade. - Métodos Iterativos: Jacobi, Gauss-Siedel, SSOR. Gradientes conjugados e generalizações. - Mínimos Quadrados. Resolução via Equação Normal e via QR. - Cálculo de Autovalores e Autovetores. Estabilidade. Método da Potência Inversa e QR.
Referências:
G. Golub & Van Loan; Matrix Computations, John Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 1987.
G. W. Stewart; Introduction to Matrix Computations, Academic Press, NY, 1973.

Ementa: - Exemplos de Espaços vetoriais de Dimensão Infinita. Equivalência entre Normas e Compacidade. - Espaços de Hilbert: l2 e L2 . Projeção em um Convexo Fechado e Dualidade. Bases Ortonormais e Caracterização de Espaços de Hilbert.Séries de Fourier. - Espaços Métricos Completos. Espaços de Banach: Teorema de Baire e conseqüências. Dualidade: Teorema de Hahn-Banach. - Topologia. Compacidade. Topologia Fraca. Caracterização de Espaços Reflexivos. - Operadores Compactos e Teorema Espectral. - Espaços de Sobolev sobre R. Formulação de Problemas de Valores de Contorno em Dimensão 1. Formulação de problemas de Valor Inicial em uma Dimensão Espacial.
Referências:
H. Brézis; Analyse Fonctionnelle, Théory et Applications, Masson, Paris, NY, 1983.
M. Reed & B. Simon; Methods of Modern Mathematical Physics; Vol. 1 – Function Analysis, Academic Press, New York and London, 1972.

Ementa: - Esquemas de Diferenças para a Equação de Poisson. Estimativa de Erro e Convergência. Solução direta de Sistemas Lineares - Eliminação de Gauss. Métodos Iterativos - Métodos de relaxação e de gradientes conjugados. - Equação Parabólica. Esquemas implícitos e explícitos em Diferenças Finitas. Estimativas de Erro, Estabilidade e Convergência. O Problema Misto de Valor Inicial e Condições de Fronteira. - Equação Hiperbólica de Primeira Ordem. Esquemas em Diferenças Finitas explícitas. Dipersão e Difusão. Estabilidade e Convergência. - Introdução a tópicos especiais: Malhas não uniformes, Equação de Advecção e Difusão, Problemas não lineares.
Referências:
G. E. Forsyth; Finite-Difference Methods for PDEs, N. Y., J. Wiley, 1960.
D. Paceman; Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation, Elsevier Sci. Publ. Co., 1977.
S. Hariharan & T. Molden (eds.); Numerical Methods for Partial Differential Equations, Pitman Research Notes in Math. Series, 1986.

Ementa: - Sistemas lineares com coeficientes constantes: Sistemas lineares com Autovalores Reais, Sistemas lineares com Autovalores Complexos, Exponencial de operadores lineares, Classificação dos Sistemas lineares homogêneos a coeficientes constantes 2x2 e 3x3. Métodos de variação de parâmetros. - Teorema de existência e unicidade de solução. Fluxo associado. Continuidade e diferenciabilidade do fluxo. Soluções maximais. - Poços, Fontes, Singularidades hiperbólicas, Genericidade. - Estabilidade no sentido de Liapunov. - Teorema de Poincaré-Bendixon. - Atratores Periódicos - Pertubações e estabilidade.
Referências:
M. Hirsch & S. Smale; Differencial Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

Ementa: - Medida e medida exterior: medidas em anéis e σ-álgebras. Propriedades. Medida exterior. Medida de Lebesgue em RN . Caracterização. Extensão de medidas. Construção das medidas de Stieltjes. - Funções mensuráveis e Integração: funções mensuráveis, propriedades, conjuntos não mensuráveis a Lebesgue. A integral de Lebesgue. Teoremas de Convergência. Os Espaços Lp . Completude e separabilidade. Duais e Isometrias. Medidas produto. Teorema de Fubini e Tonelli. Aplicações. - Medidas com sinal: Teoremas de decomposição da Hahn e Jordan. Continuidade absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de decomposição de Lebesgue. - Diferenciação: Derivação de medidas. Diferenciação de funções. Teorema de Lebesgue. Funções absolutamente contínuas e a integral definida.
Referências:
P. R. Halmos; Mesure Theory, Springer-Verlag, NY, 1974.
A. J. Weir; Lebesgue Integration and Mesure, Cambridge University Press, 1973.

Ementa: - Variedades diferenciáveis, Funções diferenciáveis e subvariedades. Espaço Tangente. Partição da Unidade. Fibrados Vetoriais. Integração de Campos Vetoriais. - Teorema de Sard. Fibrado de jatos. Topologia C°° de Whitney. Transversalidade. Teorema de mergulho de Whitney. Teoria de Morse. Teorema da vizinhança tubular.
Referências:
M. Gulubitsky & V. Guillemin; Stable Mappings and their Singularities, Graduate Texts in Math., 14 Springer-Verlag, 1973.
H. Abraham & J. L. Hobbin; Transversal Mapping and Flows, W. A. Benjamin, New York, 1967.
E. L. Lima; Variedades Diferenciais, IMPA, 1973.

Ementa: - Espaços de Probabilidades. - Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidades. - Valores Esperados. - Funções Geradoras e Funções Características. - Principais Distribuições de Probabilidades. - Distribuições e Esperanças condicionais. - Distribuições infinitamente divisíveis. - Lei dos Grandes Números. - Teoremas Limites. - Elementos de cadeias de Markov e Processos Estocásticos.
Referências:
B. James; Probabilidade: Um curso de Nível Intermediário, Projeto Euclides, IMPA, 1981.

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