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Disciplinas do Núcleo Básico (Obrigatórias)

  • Série de potência, convergência de série de potências, função logarítmica e função exponencial, função analítica de uma variável.
  • Integrais curvilíneas, primitiva de uma forma fechada, funções holomorfas, teorema de Cauchy, fórmula integral de Cauchy, teorema de Morera, principio de simetria de Schwartz.
  • Desigualdade de Cauchy, teorema de Liouville, propriedade do valor médio e principio do módulo máximo, lema de Schwartz, séries de Taylor e de Laurent, ponto no infinito, singularidades, teorema dos resíduos, cálculo de integrais por resíduos. Funções holomorfas, fórmula de Poisson, problema de Dirichlet.

 

Bibliografia:

CARTAN, H. - Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables.

  • Espaço Métricos.
  • Compactos.
  • Conexos.
  • Continuidade.
  • Diferenciação.
  • Integral de Riemann-Stieltjes.
  • Sucessões e séries de funções.
  • Teorema de Stone-Weierstrass.
  • Funções de várias variáveis.
  • Teorema da função inversa.
  • Teorema da função implícita.
  • Teorema de Stokes.

 

Bibliografia:

PUGH - Real Mathematical Analysis. Springer

RUDIN - Princípios de Análise Matemática. McGraw-Hill

LIMA - Espaços Métricos. Projeto Euclides

  • Breve revisão de Polinômios, anéis e grupos.
  • Extensões finitas e algébricas.
  • Extensões separáveis e normais.
  • Teoria de Galois.
  • Extensões ciclotômivcas e cíclicas.
  • Teorema de Sylow e grupos solúveis.
  • Solubilidade por radicais.

 

Bibliografia:

ENDLER, Otto - Teoria de Corpos. Monografias do IMPA, nº44

ARTIN, Michael - Algebra

EDWARDS, H. - Galois Theory. Springer-Verlag

LANG, S. - Algebra. Addison-Wesley

VAN DER WAERDEN, B.L. - Modern Algebra

JACOBSON, N. - Basic Algebra I & II. Freeman.

Ementa:

  • Sigma-álgebras.
  • Medida positiva e medida exterior, medidas de Borel, de Radon.
  • Construção de medidas.
  • Medidas vetoriais, absolutamente continuas,singulares e medidas discretas.
  • Classes importantes: medidas de Lebesgue Stieltjes, de Hausdorff, de Haar.
  • Funções mensuráveis e integral segundo Lebesgue .
  • Conjuntos não mensuráveis a Lebesgue, o exemplo de Vitali.
  • Teoremas de convergências.
  • Os espaços L^p, completude e separabilidade.
  • Medidas produto.
  • Teoremas de Fubini, de Lebesgue-Radon-Nikodym. de Representação de Riez e de diferenciação de Lebesgue-Besicovitch.

 

Bibliografia:
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their
Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999. - R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley
& Sons, Inc., 1995. - W. Neves e G. Valle, Teoria da Medida,
Integração e Probabilidade, Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 2014. - W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1987. -

Disciplinas de Ementa Fixa (Optativas)

Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa
1. Espaços de Banach.
2. Aplicações lineares e contínuas.
3. O teorema de Hahn-Banach.
4. O teorema de Banach-Steinhaus.
5. Os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.
6. Dualidade.
7. Topologias fraca e fraca-estrela.
8. Os teoremas de Banach-Alaoglu e de Goldstine.
9. Espaços reflexivos.
10. Operadores compactos entre espaços de Banach.
11. Operadores de Fredholm e a alternativa de Fredholm.
12. Auto-valor, auto-espaço e espectro.
13. Decomposição espectral.
14. Espaços de Hilbert e sua geometria.
15. Operadores auto-adjuntos e normais.
16. Teoria espectral de operadores compactos auto-adjuntos e normais.

 

Bibliografia:
[1] J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, 1985.
[2] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos Santalucía, J. Pelant e V. Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, Springer-Verlag, 2001.
[3] G. Bachman e L. Narici, Functional Analysis, Dover Publications, 2000.

Créditos: 4 / C.H.: 60
Ementa
1. Álgebras de Banach.
2. Espectro de um elemento.
3. Raio espectral.
4. O teorema de Gelfand-Mazur.
5. O grupo dos elementos invertíveis.
6. Homomorfismos complexos.
7. Espectro de uma álgebra.
8. Cálculo simbólico.
9. Álgebras de Banach comutativas: Ideais e homomorfismos.
10. Álgebras semi-simples.
11. Transformação de Gelfand.
12. Álgebras de funções.
13. Álgebras uniformes.
14. Fronteiras.
15. Involuções.
16. C*-álgebras comutativas.
17. O teorema de Gelfand-Naimark.
18. Funcionais positivos.

 

Bibliografia:
[1] R. Larsen, Banach Algebras: an Introduction, Marcel Dekker, 1973.
[2] E.L. Stout, The Theory of Uniform Algebras, Bogden & Quigley, 1971.
[3] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991.

  • Aplicações diferenciáveis.
  • Teorema das funções implicitas.
  • Teorema da função inversa.
  • Polinômios e desenvolvimento de Taylor limitados.
  • Formas diferenciais.
  • Teorema de Stokes.

 

Bibliografia:

DIEUDONNE, J.A. - Foudations of Modern Analysis. Academic Press (1969)

  • Teorema de existênxcia e unicidade.
  • Equações Lineares.
  • Classificação dos campos lineares.
  • Estabilidade e instabilidade assintótia de um ponto singular de uma equação autônoma.
  • Funções de Lyapunov.
  • Pontos fixos Hiperbólicos.
  • O teorema de Grobman-Hartman.
  • Fluxo associado a uma equação autonoma. Conjuntos limites.
  • Campos gradientes.
  • Campos planos.
  • O teorema de Poincaré-Bendixon.
  • Órbitas periódicas hiperbólicas.
  • O teorema da variedade estável para pontos fixos hiperbólicos.

 

Bibliografia:

DE MELO, W.; PALIS J. - Introduction to Dynamical Systems. Berlin, Springer-Verlag, 1982;

HIRSCH, M.; SMALE, S. – Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. New York, Academic Press, 1974;

SOTOMAYOR, J. - Liões de Equações Diferenciais Ordinárias. Rio de Janeiro, IMPA, Projeto Euclides, 1979.

  • Vibrações transversais de cordas e membrana elástica.
  • Formulação fraca de problemas mistos.
  • Espaços de Sobolev Hm.
  • Problemas variacionais abstratos.
  • Teoria Espectral.
  • Equilíbrio de membranas com obstáculos.
  • Teorema de Lions-Stampachia.
  • Regularização Elítica. Método de Galerkin.
  • Equações de ondas e transferência de calor no caso linear.

 

Bibliografia:

MEDEIROS, L.A.; MIRANDA, M. Milla - Espaços de Sobolev e Equações Diferenciais Parciais. Instituto de Matemática, UFRJ, 1993

BREZIS, H. – Analyse Functionelle (Theorie et Applications). Masson – Paris 1983.

  • Espaços de Hilbert.
  • Formas Sequilineares e Aplicações.
  • Lineares.
  • Operadores Compactos.
  • Operadores Simétricos Limitados.
  • Operadores de Fredholm.
  • Núcleos Simétricos.
  • Cálculo dos Vetores e valores Próprios do Operador Integral.
  • Núcleo Gerais.
  • Métodos de aproximações Sucessivas.
  • Alternativa de Fredholm Aplicações ao Estudo dos Problemas de Dirichlet-Neumann.

 

Bibliografia:

MIRANDA, M. M. - Análise Espectral em Espaços de Hilbert, Textos de Métodos Matemáticos nº 28. IM/UFRJ, Rio, 1993

BREZIS, H. - Analyse Functionnelle – Theorie et Applications. Masson, Paris, 1983

  • Breve revisão de Polinômios, anéis e grupos.
  • Extensões finitas e algébricas.
  • Extensões separáveis e normais.
  • Teoria de Galois.
  • Extensões ciclotômivcas e cíclicas.
  • Teorema de Sylow e grupos solúveis.
  • Solubilidade por radicais.

 

Bibliografia:

ENDLER, Otto - Teoria de Corpos. Monografias do IMPA, nº44

ARTIN, Michael - Algebra

EDWARDS, H. - Galois Theory. Springer-Verlag

LANG, S. - Algebra. Addison-Wesley

VAN DER WAERDEN, B.L. - Modern Algebra

JACOBSON, N. - Basic Algebra I & II. Freeman.

  • Curvas planas; Desigualdade isoperimétrica.
  • Curvas no espaço.
  • Curvatura e torção.
  • Triedro de Frenet, teorema de existência e unicidade de curvas.
  • Superfície em R 3.
  • Plano tangente.
  • Aplicações diferenciáveis entre superfícies.
  • Primeira forma fundamental, área.
  • Aplicação normal de Gauss.
  • Segunda forma fundamental.
  • Direções principais, curvatura de Gauss e curvatura média, linha de curvatura.
  • Exemplos clássicos de superfícies.
  • Geometria intríseca.
  • Derivada covariante, Teorema Egregium de Gauss.
  • Teorema fundamental das imersões em R3.
  • Curvatura geodésica; equações das geodésicas, cálculo de geodésicas em superfícies.
  • A aplicação exponencial.
  • Teorema de Gauss-Bonnet.
  • Outros tópicos.

 

Bibliografia:

ARAUJO, P.V. – Geometria Diferencial. Rio de Janeiro, IMPA, 1998;

CARMO, M.P. do – Differential Geometry of Curves and Surfaces. Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1976;

SPIVAK, M. – A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, vol. 3. Berkeley, Publish or Perish, 1979.

  • Espaços de Banch e Espaços de Hilbert.
  • Teorema de Hahn-Banach nas Formas Analística e Geometrica.
  • Dualidade.
  • Teorema de Banach-Steinhaus.
  • Teorema do Gráfico fechado e da Aplicação Aberta.
  • Teorema de Krein-Milman.
  • Operadores em Espaços de Hilbert.
  • Operadores Compactos.

 

Bibliografia:

TAYLOR, A.; LAY,D - Introduction to Functional Analysis.

WILLEY & SOHNS, John - A Course on Functional Analysis. New York; Conway, Springer Verlag

  • Noções básicas de Teoria Espectral.
  • A representação de Gelfand-Naimark.
  • Grupos localmente compactos.
  • A medida de Hear e a integração sobre grupos localmente compactos.
  • Representação de Grupos e teorema de Peter-Weyl.
  • Análise de Fourier sobre os Grupos Compactos.
  • Representações Induzidas e o teorema de impritividade de Mackey.
  • Outros tópicos.

 

Bibliografia:

FOLLAND, Gerald B - A Course in Abstract Harmonivca Analysis. CRC Press, 1995

  • Noções elementars de análise tensorial.
  • Cinemática dos corpos do meio contínuo: configurações de Bibliografia, movimentos e deformações.
  • Conservação de massa, momento linear e energia, equações de balanço e condições de salto em geral, ensor de Cauchy.
  • Relações constitutivas: princípio de objetividade material, corpos de material simples, grupos de materiais isotrópicos, funções isotrópicas.
  • Princípio de entropia: termodinâmica dos materiais elásticos, método de multiplicadores de estabilidade termodinâmica.
  • Soluções exatas para sólidos elásticos e para escoamentos viscométricos.

 

Bibliografia:

LIU, I-Shih - Mechanics of Contious Media, Notas de aula. IM-UFRJ, Rio de Janeiro 1999;

WILMANSKI, K. - Thermomechanics of Continua. Springer, Berlin Heidelberg 1998;

GURTIN, M.E. - Na Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York 1981.

Carga didática: 4 horas semanais
Nível: Mestrado


Ementa:
- Medida e medida exterior: medidas em anéis e ?-álgebras. Propriedades. Medida exterior. Medida de Lebesgue em RN . Caracterização. Extensão de medidas. Construção das medidas de Stieltjes. - Funções mensuráveis e Integração: funções mensuráveis, propriedades, conjuntos não mensuráveis a Lebesgue. A integral de Lebesgue. Teoremas de Convergência. Os Espaços Lp . Completude e separabilidade. Duais e Isometrias. Medidas produto. Teorema de Fubini e Tonelli. Aplicações. - Medidas com sinal: Teoremas de decomposição da Hahn e Jordan. Continuidade absoluta. Teorema de Radon-Nikodym. Teorema de decomposição de Lebesgue. - Diferenciação: Derivação de medidas. Diferenciação de funções. Teorema de Lebesgue. Funções absolutamente contínuas e a integral definida.

Referências:

P. R. Halmos; Mesure Theory, Springer-Verlag, NY, 1974.

A. J. Weir; Lebesgue Integration and Mesure, Cambridge University Press, 19

  • Funcionais Diferenciáveis no Sentido de Frechet e Gateux.
  • Variação do Gradiente de um Funcional.
  • Equações de Euler.
  • Condições Suficientes de Extremos.
  • Estudo do Funcional do Cálculo Clássico de Variações.
  • Minimização de Funcionais de Valores Próprios.
  • Iniciação às Inequações Variacionais.
  • Teorema de Lions-Stampacchia.

 

Bibliografia:

GELFAND, I.M. - Calculus of Variations. Prentice Hall Inc, New Jersy, USA, 1963

MEDEIROS, L.A.; MIRANDA, M. Milla - Introdução aos Espaços de Sobolev e as Equações Diferenciais Parciais. Textos de Métodos Matemáticos nº 25, IM-UFRJ, Rio, 1991

KINDELEHRER, D.; STAMPACCHIA, G. - NA Introduction to Variational Inequalities and Applications. Academic Press, New York, 1980

  • Geometria Diferencial Global das superfícies em R3.
  • Teorema de rigidez da esfera em R3.
  • Teorema de Hopf-Rinow.
  • primeira e segunda variação do comprimento de arco.
  • Teorema de Bonnet.
  • Teorema de Hadamard.
  • Superfícies com curvatura zero.
  • Teorema de Jacobi.
  • Teorma de Hilbert, Introduição à Geometria Riemanniana.
  • Introdução às Variedades Diferenciáveis.
  • Métricas Riemannianas.
  • Conexão de Levi-Civitta.
  • Geodésicas.
  • Vizinhanças normais e totalmente normais.
  • Tensor de curvatura.
  • Derivação covariante de tensores.
  • Campos de Jacobie e pontos conjugados.
  • Imersões isométricas: equções de Gauss, Ricci e Codazzi.
  • Aplicações multilineares.
  • Polinômios homogêneos.
  • Teorema da extenção – Polinômios fracamente contínuos.
  • Teorema do gráfico fechado para para aplicações multilineares.
  • Reflexidade em espaços de polinômios.
  • Corpos de números algébricos.
  • Anéis noetherianos e domínio de Dedekind.
  • Classes de ideais.
  • Extensões em domínios de Dedekind.
  • Decomposição em corpos ciclotômicos e quadráticos.
  • Método geométrico.
  • Extensões galoisianas.

 

Bibliografia:

RNDLER, Otto - Teoria Algébrica dos Números. Projeto Euclides # 15

FROHICH, A.; TAYLOR, M.J. - Algebraic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics #27

IRELAND, K.; ROSEN, M. - A Classical Introductions to Modern Number Theory.Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics #67

  • Revisão das propriedades básicas de anéis e exemplos, módulos, submódulos, condições de cadeias para anéis e módulos, o radica; de um módulo, o radical de Jacobson, o lama de Nakayama, anéis semisimples e o teorema de Wedderburn, módulos indecomponíveis, o lema de Fitting, o teorema de Krull-Schmidt, módulos projetivos, produtos tensoriais.

 

Bibliografia:

PIERCE, R.S. - Associative Algebras. Springer

JACOBSON, N. - Basic Algebra I e II. Freeman

COHN, P.M. - Algebra I e II. Wiley

LANG, S. - Algebra. Addison-Wesley

  • Operadores lineares em espaços de Banach.
  • Teoria Espectral Algebras de Banach.
  • C*-Algebras.
  • Equações de balanço, funções constitutivas.
  • Teoria termoestática: existência de entropia e temperatura absoluta, teoria de Carathéodory.
  • Entropia em teoria cinética de gases e mecânica estatística.
  • Segunda lei de termodinâmica.
  • Desigualdade de entropia.
  • Teorias constitutivas e as consequências do princípiode calor.
  • Termoelasticidade e viscoelasticidade.

 

Bibliografia:

LIU, I-Shih - Mechanics of Contious Media, Notas de aula. IM-UFRJ, Rio de Janeiro, 1999;

WILMANSKI, K. - Thermomechanics of Continua. Springer, Berlin Heidelberg 1998;

GURTIN, M.E. - Na Introduction to Continnum Mechanics. Academic Press, New York 1981.

Ementa:

Noções básicas de topologia.
Continuidade.
Conexidade.
Compacidade. Teorema de Tychonoff.
Axiomas de contabilidade.
Axiomas de separação. Lema de Uryshon.
Partições da unidade.
Espaços de funções.
Espaços de Baire.

Referências:

- J. R. Munkres, Topology, Second Edition, Prentice Hall, Inc., 2000.
- J. L. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, New York, 1991.
- J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966.
- S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1968.

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