Professor: Alejandro Cabrera

Período: 2021-1 (calendário da pós-graduação)
Nivel: doutorado (serve tambem para mestrado e pode ter espelho na graduação se tiver interessados)
Pré-requisitos: cálculo em várias variáveis e álgebra linear (a ideia é manter pré-requisitos minimos, embora precisa-se que o aluno tenha uma certa maturidade matemática).

Ementa: 

O curso tem por objetivo estudar sistemas físicos que, em algum sentido, podem ser resolvidos de forma exata. Nestes sistemas, o papel das simetrias será sistematicamente explorado. No caminho, o estudante se familiariza com diversos formalismos, metodos e ideias da fisica-matematica basica. 

(1) Integrabilidade em Mecânica: Neste item, abordaremos os seguintes tópicos: o Problema de Kepler; a Simetria de Runge-Lenz e problemas relacionados com órbitas de colisão; o conceito de sistema Hamiltoniano completamente integrável e a solução das equações do movimento para corpos rígidos. Colchetes de Poisson e geradores infinitesimais de simetrias. Relação entre simetrias e quantidades conservadas em mecânica Hamiltoniana (Noether).

(2) Integrabilidade na mecânica quântica. O formalismo da mecânica quântica. Simetrias e representações lineares de grupos. Translações e rotações em mecânica quântica. Resolvendo a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio usando métodos da teoria de grupos, com base na simetria de Runge-Lenz.

(3) Simetrias discretas: Teoria de representações de grupos discretos. O papel das simetrias discretas na teoria das vibrações moleculares.

(4) Teoria do Eletromagnetismo: as Equações de Maxwell do eletromagnetismo clássico. Soluções especiais. A linguagem de formas diferenciais. A invariância relativista subjacente e simetrias pelo grupo de Poincaré. A classificação de Wigner de partículas como representação do grupo de Poincaré.

Bibliografia:

1. M. Audin, Spinning tops: A course on integrable systems, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, 1999.
2. P. Bamberg and S. Sternberg, A course in mathematics for students of physics:, A Course in Mathematics for Students of Physics, Cambridge University Press, 1991.
3. J.H. Conway, The orbifold notation for surface groups., Groups, combinatorics and geometry. Proceedings of the L.M.S. Durham symposium, held July 5-15, 1990 in Durham, UK, Cambridge: Cambridge University Press, 1992, pp. 438–447 (English).
4. J.H. Conway, H. Burgiel, and C. Goodman-Strauss, The symmetries of things, CRC Press, 2016. 
5. V. Guillemin and S. Sternberg, Variations on a theme by kepler, American Mathematical Society Colloquium Publications, American Mathematical Society, 2006.
6. J. Hoppe, Lectures on integrable systems, Lecture Notes in Physics Monographs, Springer Berlin Heidelberg, 2008.
7. S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press, 1995